Question

Como calculo o limite dessa sequencia?
$a_{1}=1 \\ a_{n+1}=1+ \frac{1}{1+ a_{n} } , n \geq 1$

Answer 1

Temos a seguinte sequência dada por uma lei de recorrência:

$\left\{ \begin{array}{lc} a_{1}=1\\ a_{n+1}=1+\dfrac{1}{1+a_{n}},&\text{ para }n\geq 1 \end{array} \right.$


Analisando a lei de formação, vemos que todos os termos são maiores ou iguais que $1:$

$a_{n}\geq 1\\ \\ \Rightarrow\;\;1+a_{n}\geq 2\\ \\ \Rightarrow\;\;\dfrac{1}{1+a_{n}}\leq \dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;1+\dfrac{1}{1+a_{n}}\leq 1+\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;1\leq 1+\dfrac{1}{1+a_{n}}\leq \dfrac{3}{2}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;1\leq a_{n+1}\leq \dfrac{3}{2},\;\;\;n=1,\,2,\,3,\,\ldots$


Logo, a sequência é limitada inferiormente por $1$ e superiormente por $\dfrac{3}{2}.$


Suponhamos que a sequência convirja para um limite finito $L.$ Quando $n\to \infty,$

$a_{n+1}\to L\,\text{ e }\,a_{n}\to L.$


Fazendo $n\to \infty$ na lei de recorrência, temos

$L=1+\dfrac{1}{1+L}\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ \\ L=\dfrac{1+L+1}{1+L}\\ \\ \\ L=\dfrac{2+l}{1+L}\\ \\ \\ L+L^{2}=2+L\\ \\ L^{2}=2\\ \\ L=\sqrt{2}$


O limite da sequência é $\sqrt{2}.$