Question

Como cálculo isso?

$\displaystyle\int_{0}^{1} {e}^{x} ( \frac{1 - x}{1 + {x}^{2} })^{2} \: dx$​

Answer 1

Resposta:

0  a 1 ∫ e^(x) * ( (1-x)/(1+x²))² dx

Faça u =e^(x)   ==> du =e^(x) dx

ln(u)=ln e^(x)

ln(u) = x* ln e  ==>x=ln(u)  

0  a 1 ∫ e^(x * ( (1-ln(u))/(1+ln²(u) ))² du/e^(x)

0  a 1 ∫  ( (1-ln(u))/(1+ln²(u) ))² du

Use Frações  Parciais

0  a 1   ∫   1/(ln²(u) +1) - 2 ln(u)/(ln²(u)+1)²  du

0  a 1   ∫   1/(ln²(u) +1)  du   -  0  a 1   ∫  2 ln(u)/(ln²(u)+1)²  du

Observe: Cheguei até aqui , não é possível calcular algebricamente esta integral , usei um método numérico, computacional, para , pelo menos , ter uma solução.

A = (1/2)*(e-2) ≅ 0,35914

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\boxed{ \displaystyle\int_{0}^{1} e^x \left( \frac{1 - x}{1 + x^2} \right)^2 \, dx = \red{\boxed{\dfrac{e}{2} - 1}}}} \red{\checkmark} \green{\checkmark} \purple{ \checkmark}$

Explicação passo-a-passo:

Antes de iniciarmos com a resolução gostaria de mostrar uma técnica de integração que nos será bastante eficaz para achar a primitiva da função no enunciado, podemos inicialmente demostrar a seguinte igualdade, observe:

$\displaystyle\int e^x \bigg[f(x) + f'(x) \bigg] \,dx = e^x f(x)$

Portanto, procede a demonstração da igualdade acima,

$\mathcal{I} = \displaystyle\int e^x \bigg[f(x) + f'(x) \bigg] \,dx$

$\mathcal{I} = \underbrace{\displaystyle\int e^x f(x) \, dx}_{\mathcal{I_1}} + \displaystyle\int e^x f'(x) \, dx$

Deste modo, podemos achar a antiderivada $\mathcal{I_1}$ pela integração por partes,

$\mathcal{I_1} = \displaystyle\int e^x f(x) \, dx$

$\mathcal{I_1} = f(x) \displaystyle\int e^x \, dx - \displaystyle\int \bigg[ \frac{\green{d} f(x)}{\green{dx} } \displaystyle\int e^x \, dx \bigg] \, dx$

$\mathcal{I_1} = e^x f(x) - \displaystyle\int f'(x)e^x \,dx$

voltando para a integral inicial concluímos portanto que,

$\mathcal{I} = e^x f(x) - \cancel{\displaystyle\int {e}^{x} f'(x) \,dx} + \cancel{\displaystyle\int e^x f'(x) \, dx}$

$\boxed{\mathcal{I} = \displaystyle\int e^x \bigg[f(x) + f'(x) \bigg] \,dx = e^x f(x)}$

Aplicarei este raciocínio na integral no enunciado, entretanto vou inicialmente manipular uns detalhes, observe,

$\mathcal{I} = \displaystyle\int_{0}^{1} e^x \left( \frac{1 - x}{1 + x^2} \right)^2 \, dx$

$~$

$\iff \mathcal{I} = \displaystyle\int_{0}^{1} e^x \left[ \frac{1 + x^2 - 2x}{(1 + x^2)^2} \right] \, dx$

$~$

$\iff \mathcal{I} = \displaystyle\int_{0}^{1} e^x \left[ \frac{1}{1 + x^2} - \frac{2x}{(1 + x^2)^2} \right] \, dx$

$~$

$\iff \mathcal{I} = \displaystyle\int_{0}^{1} e^x \left[ \frac{1}{1 + x^2} + \frac{\green{d}}{\green{dx} } \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \right] \, dx$

Portanto, ficaremos com o seguinte,

$\\ \iff \mathcal{I} = \dfrac{e^x}{1 + x^2} \Bigg|_{0}^{1}$

$\\ \iff \boxed{\boxed{\mathcal{I} = \dfrac{e}{2} - 1}} \red{\checkmark} \green{\checkmark} \purple{ \checkmark}$

Espero ter colaborado!) $@\underline{\green{\mathbb{ZIBIA}}}$