Question

Como calculo essa derivada y^x = x^y ?

Answer 1

Esta tarefa envolve derivação implícita.

Considerando  y  como função de  x,  calcular a derivada da função, cuja lei é dada implicitamente pela equação

     $y^x=x^y$


Por definição, podemos reescrever as exponenciais envolvidas:

     •   $y^x=(e^{\ln y})^x=e^{x\ln y}$       onde  y > 0;

     •   $x^y=(e^{\ln x})^y=e^{y\ln x}$       onde  x > 0;


de modo que a igualdade fica

     $e^{x\ln y}=e^{y\ln x}$


Como a função exponencial é injetora, a igualdade acima é equivalente à igualdade entre os expoentes:

     $x\ln y=y\ln x$


Agora sim, podemos derivar ambos os lados, usando a regra do produto:

     $\dfrac{d}{dx}(x\ln y)=\dfrac{d}{dx}(y\ln x)\\\\\\ \dfrac{d}{dx}(x)\cdot \ln y+x\cdot \dfrac{d}{dx}(\ln y)=\dfrac{d}{dx}(y)\cdot \ln x+y\cdot \dfrac{d}{dx}(\ln x)\\\\\\ 1\cdot \ln y+x\cdot \left(\dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx} \right )=\dfrac{dy}{dx}\cdot \ln x+y\cdot \dfrac{1}{x}\\\\\\ \ln y+\dfrac{x}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\cdot \ln x+\dfrac{y}{x}$


Isolando  dy/dx:

     $\dfrac{x}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{dy}{dx}\cdot \ln x=\dfrac{y}{x}-\ln y\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}\cdot \left(\dfrac{x}{y}-\ln x\right)=\dfrac{y}{x}-\ln y\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{~\frac{y}{x}-\ln y~}{~\frac{x}{y}-\ln x~}$


Multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por  xy,

      $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(\frac{y}{x}-\ln y)\cdot xy}{(\frac{x}{y}-\ln x)\cdot xy}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{xy^2}{x}-xy\ln y}{\frac{x^2 y}{y}-xy\ln x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2-xy\ln y}{x^2-xy\ln x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y\cdot (y-x\ln y)}{x\cdot (x-y\ln x)}$

     $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{y-x\ln y}{x-y\ln x}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)