Question

Como calculo a derivada da função 5 elevado a x

Answer 1

f(x)=5^x = f'(x)=5^x(ln5)

Answer 2

Olá :)

Nesse caso, precisamos aplicar uma propriedade para conseguir realizar a derivada.

$\mathrm{Aplicar\:as\:propriedades\:dos\:expoentes}:\quad \:a^b=e^{b\ln \left(a\right)}$

Com isso, faremos:

$5^x=e^{x\ln \left(5\right)}\\\\\frac{d}{dx}\left(e^{x\ln \left(5\right)}\right)$

Agora, precisamos aplicar a regra da cadeia:

$\mathrm{regra\:da\:cadeia}:\quad \frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Sendo $f=e^u,\:\:u=x\ln \left(5\right)$, teremos:

$\frac{d}{du}\left(e^u\right)\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(5\right)\right)$

Calculando $\frac{d}{du}\left(e^u\right)=e^u$

Agora calculando $\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(5\right)\right) =\ln \left(5\right)\frac{d}{dx}\left(x\right) =\ln \left(5\right)\cdot \:1 =\ln \left(5\right)$

Portanto, temos que:

$\frac{d}{du}\left(e^u\right)\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(5\right)\right) =e^u\ln \left(5\right)$

Como $\:u=x\ln \left(5\right)$, vamos fazer essa substituição

$e^u\ln \left(5\right) =e^{x\ln \left(5\right)}\ln \left(5\right)$

Sendo $e^{x\ln \left(5\right)}=5^x$, teremos:

$e^{x\ln \left(5\right)}\ln \left(5\right) =\ln \left(5\right)\cdot \:5^x$

RESPOSTA: $\ln \left(5\right)\cdot \:5^x$