Question

Como calcular , vide anexo, onde f(n) = $n^{2}$

Answer 1

Começamos por simplificar a expressão:

$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{T(n)}{f(n)} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{21 n \log n}{n^2} = 21 \times \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\log n}{n}.$

Para calcular o limite, podemos notar que $\log n$ cresce mais devagar do que $n$, pelo que o limite é $0$.

De forma mais rigorosa, como temos uma indeterminação $\frac{\infty}{\infty}$, podemos aplicar a regra de l'Hôpital:

$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\log n}{n} \overset{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\left(\log n\right)'}{\left(n\right)'} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\frac{1}{n}}{1} = 0.$

Obtemos então:

$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{T(n)}{f(n)} = 0}.$