Matemática, perguntado por igor2999, 1 ano atrás

como calcular tg de 15 graus

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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Resposta: \mathrm{tg}(15^\circ)=2-\sqrt{3}.

Explicação passo a passo:

Podemos escrever

\mathrm{tg}(15^\circ)=\mathrm{tg}(60^\circ-45^\circ)

e aplicar a fórmula para o cálculo da tangente da diferença entre dois arcos:

\mathrm{tg}(\alpha-\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)-\mathrm{tg}(\beta)}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\cdot \mathrm{tg}(\beta)}

com \alpha=60^\circ e \beta=45^\circ, cujos valores das tangentes são conhecidos (são arcos notáveis). Assim, a expressão fica

=\dfrac{\mathrm{tg}(60^\circ)-\mathrm{tg}(45^\circ)}{1+\mathrm{tg}(60^\circ)\cdot \mathrm{tg}(45^\circ)}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}\cdot 1}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}

Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por (\sqrt{3}-1):

=\dfrac{(\sqrt{3}-1)\cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3}-1)}\\\\\\ =\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3}-1)}

Expanda o quadrado da diferença no numerador, e o produto da soma pela diferença no denominador (ver produtos notáveis), e obtemos

=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\cdot (\sqrt{3})\cdot (1)+(1)^2}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}\\\\\\ =\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}\\\\\\ =\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}

Coloque 2 como fator comum em evidência no numerador e simplifique a fração:

=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2 \cdot (2-\sqrt{3})}{\diagup\!\!\!\! 2}\\\\\\ \therefore\quad \mathrm{tg}(15^\circ)=2-\sqrt{3}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}

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