Question

Como calcular o volume da região dada por {(x, y, z) e R3 : sqrt(x^2 + y^2) < z < h} onde h > 0?

Answer 1

Queremos calcular o volume da região limitada inferiormente pelo cone

$z=\sqrt{x^2+y^2}$

e superiormente pelo plano horizontal

$z=h.$

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Encontrando a interseção do plano com o cone:

$\sqrt{x^2+y^2}=h\\\\ x^2+y^2=h^2$


Isto significa que a projeção do sólido sobre o plano $xy$ é o disco de centro na origem e raio $h.$


Então, é conveniente aqui usar coordenadas cilíndricas.

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• Mudança para coordenadas cilíndricas:

$\left\{\!\begin{array}{l} x = r\cos \theta\\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta\\ z=z \end{array}\right.$


• O Jacobiano desta transformação é $|\mathrm{Jac\,}\phi|=r.$


• É evidente que os limites em $r$ e $\theta$ são

$\begin{array}{c} 0< \theta< 2\pi\\\\ 0< r< h \end{array}$


e obtemos os limites de $z$ pela própria descrição do sólido:

$r<z<h~~~~~~\big(\text{pois, }\sqrt{x^2+y^2}=r\big)$

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O volume do sólido é dado pela integral tripla em coordenadas cilíndricas:

$\text{Volume}(D)=\displaystyle\iiint_{D_{r,\,\theta,\,z}}1\cdot r\,dz\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_0^h\int_r^h r\,dz\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_0^h r\cdot (z)\big|_r^h\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_0^h r\cdot (h-r)\,dr\,d\theta$

$=\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^h (hr-r^2)\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left.\left(\frac{hr^2}{2}-\frac{r^3}{3} \right )\right|_0^h \,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left(\frac{h\cdot h^2}{2}-\frac{h^3}{3} \right )d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left(\frac{h^3}{2}-\frac{h^3}{3} \right )d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left(\frac{3h^3}{6}-\frac{2h^3}{6} \right )d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi} \frac{h^3}{6}\,d\theta$

$=\dfrac{h^3}{6}\cdot (2\pi-0)\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\pi h^3}{3}\text{~unidades de volume} \end{array}}$


Bons estudos! :-)