Question

como calcular o valor de k na equação x^2+y^2-2x+10y+6k=0 para que ela represente uma circunferência.

Answer 1

 A equação de uma circunferência é dada por: $(x - a)^2 + (x - b)^2 = r^2$.

 

 Da equação dada, podemos 'completar o quadrado', veja:

 

$x^2 + y^2 - 2x + 10y + 6k = 0 \\ x^2 - 2x + y^2 + 10y + 6k = 0 \\ x^2 - 2x + (1 - 1) + y^2 + 10y + (25 - 25) + 6k = 0 \\ (x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 10y + 25) - 25 + 6k = 0 \\ (x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 26 - 6k$

 

 Podemos concluir que o centro da circunferência é $C = \left ( 1, - 5 \right )$.

 

=> x - 1 = 0 => x = 1

=> y + 5 = 0 => y = - 5

 

 Substituindo tais valores na equação temos:

 

$x^2 + y^2 - 2x + 10y + 6k = 0 \\ 1^2 + (- 5)^2 - 2 \cdot 1 + 10 \cdot (- 5) + 6k = 0 \\ 1 + 25 - 2 - 50 + 6k = 0 \\ 6k - 26 = 0 \ \ \div( 2 \\ \boxed{k = \frac{13}{2}}$