Question

como calcular o valor aproximado de raiz de 82 usando diferenciais

Answer 1

Calcular a aproximação usando diferenciais:

   $\mathsf{\sqrt{82}}$


Fazendo um gráfico f(x) = √x e tomando a reta tangente r que passa pelo ponto P (81,9), vem:


   $\mathsf{tg\ \beta=\dfrac{dy}{dx}}$

   $\mathsf{f'(x)=\dfrac{dy}{dx}}$

   $\mathsf{\Delta y \approx dy = f'(x_{0})\cdot \Delta x}$


Entretanto, nesse caso f'(xo) = f'(81)

   $\mathsf{f(x)=\sqrt{x}}$

   $\mathsf{f'(x)=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}$


No ponto de abscissa 81, temos:

   $\mathsf{f'(81)=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{81}}}$

   $\mathsf{f'(81)=\dfrac{1}{2\cdot 9}}$

   $\mathsf{f'(81)=\dfrac{1}{18}}$


Continuando:


   $\mathsf{\Delta y \approx f'(81)\cdot \Delta x}$

   $\mathsf{y-9 \approx \dfrac{1}{18}\cdot (82-81)}$

   $\mathsf{ y \approx 9+\dfrac{1}{18}\cdot 1}$

   $\mathsf{y \approx \dfrac{163}{18}}$

$\boxed{\begin{array}{c} \mathsf{y=\approx 9,06}\end {array}}$


Obs: Foi tomado o ponto de abscissa 81 por ter raiz exata. O valor que obtido como aproximação y fica localizado um pouco acima de y = √82, logo o valor estimado será um pouco maior que o real.


Bons estudos! =)