Question

Como calcular o comprimento dos lados de um triângulo com 3 coordenadas??
Ex.:
Encontre os comprimentos dos lados do triângulo PQR, onde P(3, −2, −3), Q(7, 0, 1), R(1, 2, 1).

Vi que em alguns lugares bastava diminuir e elevar ao quadrado, mas não entendi o porquê, se alguém pudesse me explicar, grata.

Answer 1

Bom dia Taisa

Para explicar vou pegar um triangulo com 2 coordenadas

por exemplo A(4,8) , B(1,4), C(5,4)

o lado AB é hipotenusa h de um triangulo retângulo de 
cateto b =  Ax - Bx = 4 - 1 = 3 e c = Ay - By = 8 - 4 = 4

aplicando Pitágoras 

h² = b² + c²
h² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
h = 5 o valor do lado AB

lado BC

dBC² = (Bx - Cx)² + (By - Cy)²
dBC² = (1 - 5)² + (4 - 4)² = 4²
BC = 4 

lado AC

dAC² = (Ax - Cx)² + (Ay - Cy)²
dAC² = (4 - 5)² + (8 - 4)² = 1² + 4² = 17
AC = √17 

com 3 coordenadas a formula é a mesma 

P(3, −2, −3), Q(7, 0, 1), R(1, 2, 1).

dPQ² = (Px - Qx)² + (Py - Qy)² + (Pz - Qz)²
dPQ² = (3 - 7)² + (-2 - 0)² + (-3 - 1)²
dPQ² = 4² + 2² + 4² = 16 + 4 + 16 = 36
dPQ = √36 = 6

dPR² = (Px - Rx)² + (Py - Ry)² + (Pz - Rz)²
dPR² = (3 - 1)² + (-2 - 2)² + (-3 - 1)²
dPR² = 2² + 4² + 4² = 4 + 16 + 16 = 36
dPR = √36 = 6

dQR² = (Qx - Rx)² + (Qy - Ry)² + (Qz - Rz)²
dQR² = (7 - 1)² + (0 - 2)² + (1 - 1)²
dQR² = 6² + 2² + 0² = 36 + 4 + 0 = 40
dQR = √40 = 2√10