Como calcular fatorial: X!
Por favor, eu quero entender e não obter a resposta, então seja didático. Obrigado.
Soluções para a tarefa
(x+2)! = (x+2).(x+1).x.(x-1)!
Vamos lá.
Veja, Diegocapixaba, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para calcular o fatorial de "x", ou x!.
ii) Antes de iniciar, veja como se consegue o fatorial de qualquer número inteiro não negativo. Por exemplo: qual é o fatorial de 5? Aí você faz:
5! = 5*4*3*2*1 = 120
E por que é que você chegou a essa conclusão?
Resposta: porque fizemos assim:
5! = 5*(5-1)*(5-2)*(5-3)*(5-4) ----- veja como é verdade:
5! = 5*(4)*(3)*(2)*(1) = 5*4*3*2*1 = 120.
iii) Bem, a partir disso, vamos para o fatorial de "x", que é um número inteiro não negativo qualquer. Vamos utilizar o mesmo raciocínio que usamos para calcular o valor de 5! . Note que, no fim, temos que chegar em "1". E, para chegar em "1", teremos que fazer com que o último termo seja (x-x+1), pois "x-x = 0 e tendo +1, então chegaremos no 1". Veja:
x! = x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*.............. *(x-x+1) <--- Esta é a resposta.
iv) Geralmente quando nos defrontamos com questões que envolvem fatorial de incógnitas, as questões são geralmente dadas assim, por exemplo:
a) Calcule o valor de "x" na seguinte expressão:
(x+2)| / x! = 56 ------ vamos desenvolver o (x+2)! do numerador até x!. Então faremos assim:
[(x+2)*(x+1)*x!] / x! = 56 -------- simplificando-se x! do numerador com x! do denominador, ficaremos apenas com:
[(x+2)*(x+1]) = 56 ----- desenvolvendo, teremos:
x² + 3x + 2 = 56 ----- passando "56" para o 1º membro, teremos:
x² + 3x + 2 - 56 = 0 ----- ou apenas:
x² + 3x - 54 = 0 ----- note que se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:
x' = -9 <---- raiz descartada, pois não há fatorial de números negativos.
x'' = 6 <--- raiz válida, pois "6" é um número inteiro positivo.
Logo, o valor de "x" no exemplo que demos é igual a "6", ou seja, temos que:
x = 6 <--- Esta seria a resposta para o valor de "x" no nosso exemplo que demos acima.
Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se "x" seria mesmo igual a "6" no exemplo que demos. Note que o resultado terá que ser igual a "56" como está proposto no nosso exemplo.
Veja que a expressão era esta:
(x+2)! / x! = 56 ------ vamos substituir o "x" por "6", conforme já vimos. Assim:
(6+2)! / 6! = 56 ------ desenvolvendo, temos:
8! / 6! = 56 ----- agora desenvolvemos o numerador até 6! . Fazendo isso, temos:
8*7*6! / 6! = 56 ------ simplificando-se 6! do numerador com 6! do denominador, iremos ficar com:
8*7 = 56
56 = 56 <--- Olha aí como é verdade. Ou seja, olha aí como o valor de "x" é realmente igual a "6" no nosso exemplo que demos acima.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.