Matemática, perguntado por isaacdgf, 1 ano atrás

como calcular este limite
limite tgπx/x+2
x : -2
a resposta é π ... mas não consigo achar este resultado

Lukyo: A função tangente

f(x) = tg(πx)

é periódica, de período fundamental π/π = 1.

Em particular, T = 2 também é um período para f, logo temos que

f(x + 2 · 1) = f(x)
tg[π(x + 2)] = tg(πx)

Lukyo: Então, você pode reescrever o limite de forma conveniente:

L = lim tg(πx)/(x + 2)
= lim tg[π(x + 2)]/(x + 2)

Multiplique o numerador e o denominador por π:

= lim π · tg[π(x + 2)]/[π(x + 2)]

Lukyo: Faça uma mudança de variável:

π(x + 2) = u

e u tende a 0 quando x tende a (– 2). Assim, o limite fica

lim π · tg(u)/u
= lim π · sen(u)/[cos(u) · u]
= lim π · (sen(u)/u) · 1/cos(u), quando u tende a 0

= lim π · lim (sen(u)/u) · lim 1/cos(u)
= π · 1 · 1/cos(0)
= π (resposta)

isaacdgf: não consigo perceber ao ler

isaacdgf: podes mandar uma foto ?

isaacdgf: seria muito melhor

Soluções para a tarefa

Respondido por niltonjr2001

$\mathrm{\lim_{x\to -2}\bigg(\dfrac{\tan{\pi x}}{x+2}\bigg)=\dfrac{\tan{(-2\pi)}}{-2+2}=\dfrac{0}{0}}\\\\ \textbf{Aplicando a Regra de L'Hopital:}\\\\ \mathrm{\lim_{x\to -2}\bigg(\dfrac{\tan{\pi x}}{x+2}\bigg)=\lim_{x\to -2}\bigg(\dfrac{\frac{d}{dx}(\tan{\pi x)}}{\frac{d}{dx}(x+2)}\bigg)=}\\\\ \mathrm{=\lim_{x\to -2}\bigg(\dfrac{\pi.\sec^2{\pi x}}{1}\bigg)=\lim_{x\to -2}\bigg(\dfrac{\pi}{\cos^2{\pi x}}\bigg)=}\\\\ \mathrm{=\dfrac{\pi}{\cos^2{(-2\pi)}}=\dfrac{\pi}{1^2}=\boxed{\pi}}$