Question

Como calcular essa integral?
$\int\limits { e^{lnt}cos2t } \, dt$
a resposta é :
$(1/2)tsen2t +(1/4)cos2t + C$
tentei por partes, mas parece que cada vez vai ficando pior...

Answer 1

$I=\displaystyle\int{e^{\mathrm{\ell n\,}t}\cos 2t\,dt}$


Ora, por definição de logaritmo, para qualquer $t>0,$ temos que

$y=\mathrm{\ell n}\,t~~\Leftrightarrow~~e^{y}=t~~~~\mathbf{(ii)}$


Mas $y=\mathrm{\ell n}\,t.$ Então, substituindo $y$ no lado direito da equivalência em $\mathbf{(ii)},$ simplesmente obtemos

$\boxed{\begin{array}{c} e^{\mathrm{\ell n}\,t}=t \end{array}}$


Dessa forma, a integral $\mathbf{(i)}$ fica

$I=\displaystyle\int{t\cos 2t\,dt}~~~~\mathbf{(iii)}$


Método de integração por partes:

$\begin{array}{lcl} u=t&~\Rightarrow~&du=dt\\ \\ dv=\cos 2t\,dt&~\Leftarrow~&v=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}2t \end{array}\\ \\ \\ \\ \displaystyle\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\\ \\ \\ \int{t\cos 2t\,dt}=\dfrac{1}{2}\,t\,\mathrm{sen\,}2t-\int{\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}2t\,dt}\\ \\ \\ \int{t\cos 2t\,dt}=\dfrac{1}{2}\,t\,\mathrm{sen\,}2t-\dfrac{1}{2}\int{\mathrm{sen\,}2t\,dt}\\ \\ \\ \int{t\cos 2t\,dt}=\dfrac{1}{2}\,t\,\mathrm{sen\,}2t-\dfrac{1}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\cos 2t \right )+C$

$\therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int{e^{\mathrm{\ell n}\,t}\cos 2t\,dt}=\dfrac{1}{2}\,t\,\mathrm{sen\,}2t+\dfrac{1}{4}\cos 2t+C \end{array}}$