Question

Como calcular ∫(cosx)³dx 

Answer 1

$\bullet\;\; I_{0}=\int{\cos^{3}x\,dx}\\ \\ \\ I_{0}=\int{\cos^{2}x\cdot \cos x\,dx}\\ \\ \\ I_{0}=\int{(1-\mathrm{sen^{2}\,}x)\cdot \cos x\,dx}\\ \\ \\ I_{0}=\int{(\cos x-\mathrm{sen^{2}\,}x\cdot \cos x)\,dx}\\ \\ \\ I_{0}=\int{\cos x\,dx}-\int{\mathrm{sen^{2}\,}x\cdot \cos x\,dx}\\ \\ \\ I_{0}=\mathrm{sen\,}x-\int{\mathrm{sen^{2}\,}x\cdot \cos x\,dx}\\ \\ \\ I_{0}=\mathrm{sen\,}x-I_{1}\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


onde $I_{1}=\int{\mathrm{sen^{2}\,}x\cdot \cos x\,dx}.$


$\bullet\;\;$ Para calcular $I_[1},$ fazemos a substituição

$u=\mathrm{sen\,}x\;\;\Rightarrow\;\;du=\cos x\,dx$


e temos

$I_{1}=\int{u^{2}\,du}\\ \\ \\ I_{1}=\dfrac{u^{2+1}}{2+1}\\ \\ \\ I_{1}=\dfrac{u^{3}}{3}\\ \\ \\ I_{1}=\dfrac{\mathrm{sen^{3}\,}x}{3}$


$\bullet\;\;$ Substituindo de volta à integral inicial em $\mathbf{(i)},$ temos

$I_{0}=\mathrm{sen\,}x-\dfrac{\mathrm{sen^{3}\,}x}{3}+C\\ \\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{ \begin{array}{c} \int{\cos^{3}x\,dx}=\mathrm{sen\,}x-\dfrac{\mathrm{sen^{3}\,}x}{3}+C \end{array}}$