Question

Como calcular as medidas dos lados de um triângulo retângulo sabendo que estão em P.A. de razão 3?

Answer 1

Olá Nara,

se as medidas do triângulo retângulo estão em progressão aritmética, podemos representa-los assim:

$P.A.(x-3,~x,~x+3)$

Como trata-se de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, onde o maior lado é o da hipotenusa e os outros dois, as medidas dos catetos:

$c^2+c^2=h^2\\\\ (x-3)^2+x^2=(x+3)^2\\ x^2-3x-3x+9+x^2=x^2+3x+3x+9\\ 2x^2-6x+9=x^2+6x+9\\ 2x^2-x^2-6x-6x+9-9=0\\ x^2-12x=0\\ x(x-12)=0\\\\ \begin{cases}x'=0\end{cases}\begin{cases}x-12=0\\ x''=12\end{cases}$

Como não existem medidas iguais a zero, só nos serve x=12. Substituindo 12, na P.A.:

$P.A.(x-3,~x,~x+3)\\ P.A.(12-3,~12,~12+3)\\ P.A.(9,12,15)$

Portanto, os lados do triângulo medem 9, 12 e 15.

Tenha ótimos estudos =))