Question

Como calcular a raiz quadrada não exata?

queria saber como calcular raiz quadrada não exata sem usar a calculadora ex:
√2
√7

Answer 1

Você pode ir por aproximação.

Sabe que a raiz de 2 é maior que 1. E por quê? 
Ora, se fosse menor, teríamos que esse número, menor que 1, elevado ao quadrado ainda seria um número menor que 1.

E da definição de raiz quadrada, o resultado dela é aquele número que, elevado ao quadrado, resulta no radicando.

Então, a resposta da √2 é um número que elevado ao quadrado resulte em 2.

Assim, esse número deve estar entre 1 e 2.

Agora vá tentando por aproximação. Você sabe que o meio termo entre 1 e 2 é o 1,5. Então tente fazer (1,5)². Vejamos:

(1,5)² = 1,5 · 1,5 = 2,25

Então não é o 1,5, pois quando o elevamos ao quadrado obtemos um valor maior que 2.

Agora vejamos o meio termo entre 1 e 1,5, que é 1,25:

(1,25)² = 1,25 · 1,25 = 1,5625

Veja que chegamos num valor menor que 2. Ainda é possível aproximar mais o resultado. Ou seja, será um valor maior que 1,25 e menor que 1,5.

Vamos tentar o 1,4:

(1,4)² = 1,4 · 1,4 = 1,96

Veja que já melhoramos a aproximação. Então, o resultado é um valor entre 1,4 e 1,5. 

Vejamos então o meio termo entre 1,4 e 1,5, que é o 1,45:

(1,45)² = 1,45 · 1,45 = 2,1025

Note que passou de 2. Então o número procurado está entre 1,4 e 1,45. Vejamos, por exemplo, 1,42:

(1,42)² = 1,42 · 1,42 = 2,0164

Veja que estamos chegando perto. A resposta está entre 1,4 e 1,42.
Vejamos o 1,41:

(1,41)² = 1,41 · 1,41 = 1,9881

Ou seja, o número que procuramos está entre 1,41 e 1,42. Vamos tentar o 1,414, por exemplo:

(1,414)² = 1,414 · 1,414 = 1,999396

Olha só! Quase lá!

Se continuarmos com esse processo, chegaremos cada vez mais perto da resposta. Mas chegaremos de fato a ela?

NÃO!

E sabe o por quê?
Pois √2 é um número Irracional. Isto quer dizer que sua representação decimal é infinita e não apresenta um padrão de repetições.

Então, por mais que você repita o processo acima, você sempre vai obter uma resposta cada vez mais precisa, mas nunca um valor exato. 

Ou seja, aproximar a resposta de √2 para o número 1,414 já é uma boa resposta.

Experimente esse procedimento para calcular outras raízes de números primos.

Agora, se você tiver calculado raiz de um número composto, basta então decompor este número em fatores primos. A cada 2 fatores repetidos, você tira ele uma vez da raiz. Por exemplo, √18

Note que 18 = 2 · 3 · 3, que é a sua decomposição em fatores primos. Como o 3 se repete 2 vezes, o retiramos uma vez da raiz. Se ele se repetisse 4 vezes, o retiraríamos 2 vezes de dentro da raiz, e assim por diante. E o que sobrou permanece dentro da raiz.

Então, conclui-se que √18 = 3√2

Abraços e bons estudos!