Question

Como calcular a integral de 1/u^3raiz u²-9. Pelo processo de substituição trigonométrica. Ajudem-me mais uma vez por favor. Eu só tenho vocês p/ pedir ajuda, porque me respondem correto.

Answer 1

A integral indefinida $\int \frac{1}{u^3.\sqrt{u^2-9}}~du$ vale:

$\boxed{\frac{arcsec(\frac{u}{3})}{54} + \frac{sen(2.arcsec))\frac{u}{3}}{108} + C}}$

Explicação passo-a-passo:

A integral contém uma raiz do tipo:

$\sqrt{u^2-9}$

O que nos permite resolvê-la por substituição trigonométrica. O processo consiste em substituir o "x" por alguma função trigonométrica: seno, tangente ou secante, de tal modo que tudo que estiver dentro da raiz fique ao quadrado (por exemplo, em √cos²u), pois, dessa maneira, retiraremos o fator raiz e conseguiremos proceder na resolução da integral.

Deste modo, devemos fazer um pequeno exercício mental saber qual das substituições realizar. Tenha em mente as fundamentais relações:

sen²x + cos²x = 1

tg²x = sec²x - 1

Dessa maneira, note que "u²-9" é bem parecido com "sec²x - 1", a diferença está no 9 e no sec²x. Para contornar esse problema, faça a substituição de:

u = 3.secx, com x ∈ [0, π/2)       // Note que du = 3.secx.tgx.dx

pois,

$\sqrt{u^2-9} = \sqrt{(3.secx)^2-9} =\\\\ \sqrt{9.sec^2x-9} = \sqrt{9.(sec^2x-1}) = 3.\sqrt{tg^2x} =\\\\ \boxed{3.tgx}$

Assim sendo, resolvendo a integral inicial:

$\int \frac{1}{u^3.\sqrt{u^2-9}}~du=\\\\\int \frac{1}{u^3.3.tgx}~du =~~[du = 3.secx.tgxdx]\\\\\int \frac{3.secx.tgx}{u^3.3.tgx}dx =\\\\\int \frac{secx}{u^3}dx = ~~~~[u = 3.secx]\\\\\int \frac{secx}{27.sec^3x}dx = \\\\\int \frac{1}{27sec^2x}dx = \\\\\frac{1}{27}.\int\frac{1}{sec^2x}}dx~~~~[\int\frac{1}{sec^2x} = \int cos^2x = \frac{x}{2}+\frac{sen(2x)}{4} + C]\\\\\boxed{\frac{x}{54}+\frac{sen(2x)}{108} + C}$

Porém essa ainda não é a resposta: devemos voltar à variável original u, no lugar de x. Sabemos que,

u = 3.secx

então,

secx = u/3

x = arcsec(u/3)

Assim, a integral inicial ficará:

$\boxed{\int\frac{1}{u^3.\sqrt{u^2-9}} = \frac{arcsec\frac{u}{3}}{54} + \frac{sen(2.arcsec(\frac{u}{3}))}{108} + C}$