Como calcular a integral da raiz da tangente de x??
Soluções para a tarefa
Queremos ∫ raiz(tan(x) dx
Façamos, tan(x) = t², de modo que x = arctan(t²) and dx = 2t/(1 + t^4) dt. Temos, assim, a integral
∫ t [2t/(1 + t^4)] dt = ∫ 2t²/(1 + t^4) dt
Esta integral pode ser resolvida nos complexos. As raízes de 1 + t^4 são
r1= cis(π/4)
r2 = cis(3π/4)
r3 = cis(5π/4) e
r4 = cis(7π/4)
Segue-se que, por frações racionais,
2t²/(1 + t^4) pode ser expresso como a/(t -r1) + b/(t - r2) +b/(t - r3) + b/(t - r4), sendo a, b, c e d constantes complexas. A integral de a/(x - r1) é ln(x - r1) e similarmente para as demais. Depois, vc volta a x com a substituição t = sqrt(tan (x)). É muita álgebra, deixo aqui a idéia.
OBS.: A resposta que deram anteriormente está claramente errada, pois a derivada de 1/2 ln(sec(x)) = 1/2 ((sec(x) tan(x))/(sec(x) = 1/2 tan(x), que não é sqrt(tan(x).
Explicação passo-a-passo:
∫√(tgx)dx
use √tgx=u
temos x=arctg(u²) => dx=(2udu)/((u²)²+1)
Substituindo
∫ √tgx dx = ∫u·(2udu)/(u⁴+1) =
= ∫(2u²du)/(u⁴+1)
se dividimos o numerador e o denominador por u², temos
=∫(2du)/[u²+(1/u²)]
(*)Veja que u²+1/u²=u²+2(u)(1/u)+1/u²-2=(u+1/u)²-2
e também, u²+1/u²=u²-2(u)(1/u)+1/u²+2=(u-1/u)²+2
perceba também que
(d/du)(u+1/u)=1+1/u² e (d/du)(u-1/u)=1+1/u²
sabendo disso, podemos fazer:
∫(2du)/[u²+(1/u²)]=∫[1-(1/u²)+1+(1/u²)]du/[u²+(1/u²)]
Perceba que -1/u²+1/u²=0, o que não altera a resposta
logo, temos
∫(1-1/u²)du/[u²+(1/u²)] + ∫(1+1/u²)du/[u²+(1/u²)]
usando o que vimos em (*), podemos fazer
∫(1-1/u²)du/[u²+(1/u²)] + ∫(1+1/u²)du/[u²+(1/u²)] =
= ∫(1-1/u²)du/[(u+1/u)²-2] + ∫(1+1/u²)du/[(u-1/u)²+2]
Substituindo u+1/u por t, temos dt=(1-1/u²)du
Substituindo u-1/u por v, temos dv=(1+1/u²)du
Agora, temos
∫(1-1/u²)du/[(u+1/u)²-2] + ∫(1+1/u²)du/[(u-1/u)²+2]=
∫dt/(t²-2) +∫dv/(v²+2) = ∫dv/(2+v²) - ∫dt/(2-t²)
Usando ∫dx/(a+x²)=(1/√a)arctg(x/√a) e
∫dy/(b-y²)=(1/√b)arctgh(y/√b), teremos
∫dv/(2+v²) - ∫dt/(2-t²) =
= (1/√2)arctg(v/√2)-(1/√2)arctgh(t/√2) + C
Substituindo v e t de volta
(1/√2)arctg(v/√2)-(1/√2)arctgh(t/√2) + C =
= (1/√2)arctg((u-1/u)/√2)-(1/√2)arctgh((u+1/u)/√2) + C
Como u=√tgx, 1/u=√cotgx
Por fim, teremos
= (1/√2)arctg((√tgx - √cotgx)/√2) - (1/√2)arctgh((√tgx + √cotgx)/√2) + C