Question

Como calcular a fração geratriz de 18,142857142857142857...

Answer 1

Vamos "quebrar" primeiramente esse número decimal...

18 + 0,142857 + 0,000000142857 // Transformando em fração... (podemos esquecer o "18" agora, vamos retoma-lo mais adiante)

0,142857 = 142857/1000000

0,000000142857 = 142857/10000000000000

Formando assim uma P.G..

a1 = 142857/1000000

a2 = 142857/10000000000000

q = a2/a1

q = 142857/10000000000000 / 142857/1000000 (Passando a fração que está dividindo, multiplicando pra cima e invertendo-a)

q = 142857/10000000000000 . 1000000/142857 (Podemos cortar "142857" com "142857") ficando assim :

q = 1000000/10000000000000 (Cortamos os zeros)

q = 1/10000000

formula de somatória de uma PG finita:

Sn = a1/1-q // Substituindo

Sn = 142857/1000000 / 1 - 1/10000000 // Igualemos os denominadores:

Sn = 142857/1000000 / 10000000/10000000 - 1/10000000

Sn = 142857/1000000 / 9999999

/10000000  // Passamos a fração que está dividindo para cima multiplicando e invertendo-a

Sn = 142857/1000000 . 10000000/9999999 // Cortamos zero com zero

Sn = 142857/1 . 10/9999999 // Multiplicamos

Sn = 1428570/9999999 // Simplificando por 3

Sn = 476190/3333333 // Simplificando por 3

Sn = 158730/1111111 // Está é a forma irredutível da fração.

Retomemos o "18" do começo

18 + 158730/1111111 // Igualemos os denominadores:

18.1111111/1.1111111 + 158730/1111111

19999998

/1111111 + 158730/1111111

20158728/1111111 ESTÁ É A FRAÇÃO QUE RESULTA NA DÍZIMA 18,142857142857142857...

Ps. Qualquer confusão com a quantidade de números só me perguntar que tentarei esclarecer, espero ter ajudado. Bons Estudos!