Question

como calcular a distancia entre as retas paralelas 3x-y+4=0 e -6x+2y-2=0?

Answer 1

Dadas duas retas com a forma:

$y = ax + b_{1} \\ y = ax + b_{2}$

A distância entre elas será: $d = \frac{|b_{1}-b_{2}|}{ \sqrt{a^2 + 1}}$
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No nosso caso, precisamos modelar às equações até chegar a forma apresentada acima para calcular a distância entre as retas.

Vale ressaltar que, a distância entre retas paralelas é constante e a menor possível entre dois pontos que pertençam a cada reta separadamente, ou seja, é uma distância perpendicular. 

Temos que:

$3x - y +4 = 0 \\ -6x + 2y -2 = 0$

Vemos que o valor de "a", que multiplica o "x" e define a inclinação das retas, não é o mesmo. Então para que encontremos o mesmo valor, vamos multiplicar toda a primeira equação por "-2", assim:

$-6x + 2y - 8 = 0 \\ -6x + 2y -2 = 0$

Reescrevendo:

$2y = 6x + 8 \\ 2y = 6x + 2$

Ou melhor:

$y = 3x + 4 \\ y = 3x + 1$

Agora sim encontramos a forma como estávamos querendo $y = ax + b$. Usando $a = 3$, $b_{1} = 4$ e $b_{2} = 1$, temos:

$d = \frac{|4-1|}{ \sqrt{3^2 + 1}} \rightarrow d = \frac{3}{ \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{ \sqrt{10}} \rightarrow d = \frac{3.\sqrt{10}}{10}$

Observação: na expressão da distância, temos um módulo no numerador. Ele só está nos ajudando a desprezar o possível sinal negativo se tivéssemos feito "1-4", ao invés de "4-1", como fizemos. Isso é uma informação bastante importante que acaba surgindo da própria expressão.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!