Question

como calcular a distância de um ponto a reta

Answer 1

Distância entre ponto e retaConsidere um ponto A (x0, y0) e uma reta s: ax + by + c = 0 pertencente a um mesmo plano, a distância desses pontos poderá ser calculada através da fórmula: 



Exemplo 1: 
Calcule a distância da reta P à reta r, em cada um dos casos: 
• P(1,3) e r: 5x + 12y – 2 = 0 

Iremos substituir 1 = x0; 3 = y0; a = 5; b = 12; c = -2. 



d = 39 
      13 

• P(-2,-4) e r: y = x – 8 

Nesse caso a reta está na forma reduzida, portanto é preciso transformá-la para a forma geral. 
y = x – 8 → x – y – 8 = 0 

Assim, iremos substituir -2 = x0; -4 = y0; a = 1; b = -1; c = -8. 



d = |-6| 
       √2 

d = 6 . √2 = 6√2 = 6√2 = 3 √2 
     √2 . √2   (√2)2     2 

Exemplo 2: 

Sabendo que os vértices de um triângulo são A(1,3), B(5,0) e C(0,5), responda: 


a) Qual é a equação geral da reta AB? 

Os pontos A(1,3) e B(5,0) pertencem à reta AB e com eles podemos encontrar o coeficiente angular dessa reta e aplicá-lo na equação fundamental. 

mAB = 0 – 3     = - 3 
             5 – 1          4 

y – y0 = m (x – x0) 
y – 0 = -3/4 (x – 5) 
y = -3/4x + 15/4 

4y = - 3x + 15 
         4 

3x + 4y – 15 = 0 

b) Calcule a medida da altura relativa ao vértice C. 

Nesse caso iremos calcular a distância do ponto C à reta AB. Substituindo os valores 0 = x0; 5 = y0; a = 3; b = 4; c = -15 na fórmula: . 



d = |20 – 15| 
           √25 

d = 5 = 1 
      5

Answer 2

A distância de um ponto P com coordenadas (X0,Y0) a uma reta r de equação r: ax + by + c = 0 qualquer pode ser calculada pela expressão abaixo:

d(P,r) = |a*X0 + b*Y0 + c|/√a²+b²

Um ponto tem infinitas distâncias a uma reta qualquer, pois a reta contém infinitos pontos, mas o calculo da distância de um ponto a reta é dado sempre com a menor distância entre eles. A equação acima nos dá o menor valor de distância entre um ponto e uma reta, mas existe outras expressões que podem calcular a distância de um ponto a qualquer outro ponto de uma reta.