Question

Como calcular a derivada?

$f(x) = 2^{3x^{2} +6x} (3x-1)^{4}$

PS: o maior problema está na derivada de $2^{3x^{2} +6x}$

Answer 1

Percebemos claramente que primeiramente teremos de usar a regra do produto e logo após, a regra da cadeia, e também, a regra para funções exponenciais:

$f(x)=2^{3x^2+6x}(3x-1)^4 \\ \\ f'(x)=(2^{3x^2+6x})'(3x-1)^4+2^{3x^2+6x}(3x-1)^4' \\ \\ f'(x)=2^{3x^2+6x}[3x^2+6x.ln(2)]'(3x-1)^4+2^{3x^2+6x}.4(3x-1)^3.(3x-1)'$

Prosseguindo com a derivada do termo com Logaritmo Natural:

$[3x^2+6x.ln(2)]'= \\ \\ (3x^2+6x)'.ln(2)+(3x^2+6x).ln(2)' =\\ \\ (6x+6).ln(2)+(3x^2+6x).0 =\\ \\ (6x+6).ln(2)$

Continuando:

$f'(x)=2^{3x^2+6x}[(6x+6).ln(2)](3x-1)^4+2^{3x^2+6x}.4(3x-1)^3.3$

$f'(x)=2^{3x^2+6x}[(6x+6).ln(2)](3x-1)^4+2^{3x^2+6x}.12(3x-1)^3 \\ \\ f'(x)=2^{3x^2+6x}[(6x+6).ln(2)](3x-1)^4+2^{3x^2+6x}.2^2.3(3x-1)^3 \\ \\ f'(x)=2^{3x^2+6x}[(6x+6).ln(2)](3x-1)^4+2^{3x^2+6x+2}.3(3x-1)^3$

$f'(x)=ln(2).2^{3x^2+6x}(6x+6)(3x-1)^4+3.2^{3x^2+6x+2}(3x-1)^3$

Prontinho. Mas pode ter achado estranho o termo seguinte, pois simplifiquei na medida do possível, fatorando o número 12. E quando as bases de uma multiplicação são iguais, devemos somar os expoentes, e apenas somei com o monômio exponencial.

$2^{3x^2+6x}.12 \\ \\ 2^{3x^2+6x}.2^2.3 \\ \\ 2^{3x^2+6x+2}.3$