Question

Como calcular a derivada dessa função?:
$\frac{ x^{2} + 3e^{x} }{ 2e^{x} -x}$

Answer 1

$\boxed{\boxed{y= \frac{x^2+3e^x}{2e^x-x}}}$

usando a regra do quociente

$\boxed{\boxed{\left ( \frac{U}{V}\right )' = \frac{U'*V -U*V'}{V^2} }}$

nesse caso

$\Bmatrix{U= x^2+3e^x\\\\U'=2x+3e^x\\\\\\V=2e^x-x\\\\V'=2e^x-1\end$

colocando na regra do quociente

$y'= \frac{(2x+3e^x)*(2e^x-x) -(x^2+3e^x)*(2e^x-1)}{(2e^x-1)^2} \\\\y'= \frac{4xe^x+6e^{2x}-2x^2-3xe^x -[2x^2e^x+6e^{2x}-x^2-3e^x]}{(2e^x-1)^2}\\\\y'= \frac{4xe^x+\not 6\not e^{2x}-2x^2-3xe^x -2x^2e^x-\not6\not e^{2x}+x^2+3e^x}{(2e^x-1)^2}\\\\y'= \frac{e^x(4x-3x-2x^2+3)-2x^2+x^2}{(2e^x-1)^2} \\\\\boxed{\boxed{y'= \frac{e^x(-2x^2+x+3)-x^2}{(2e^x-1)^2} }}$

Answer 2

Basta lembrar da regra da derivação do quociente, onde nós derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda e subtraímos a derivada da segunda função multiplicada pela primeira. Então dividimos tudo pela segunda função elevada ao quadrado.

Nós consideramos como primeira função a que está no numerador e como segunda função, a que está no denominador.

Sejam u e v funções deriváveis: então se temos uma função y = u/v, a derivada de y em relação a x será dada por:

$y' = \frac{u'v-uv'}{ v^{2} }$


Vamos considerar:
u = $x^{2} +3 e^{x}$
u' = $2x+3 e^{x}$
v = $2 e^{x} -x$
v' = $2 e^{x}-1$

então,

$y = \frac{ x^{2} +3 e^{x}}{2 e^{x} -x}$

A derivada será dada por y':

$y' = \frac{(2x+3 e^{x})(2 e^{x} -x)-( x^{2} +3 e^{x})(2 e^{x}-1)}{ (2 e^{x} -x)^{2} } \\ \\ y' = \frac{(4x e^{x} - 2 x^{2} +6x e^{2x} - 3x e^{x} )-(2 x^{2} e^{x}- x^{2} +6x e^{2x}-3 e^{x} )}{ (2 e^{x} -x)^{2}} \\ \\ y' = \frac{4x e^{x} - 2 x^{2} +6x e^{2x} - 3x e^{x} -2 x^{2} e^{x}+ x^{2} -6x e^{2x}+3 e^{x} }{ (2 e^{x} -x)^{2}} \\ \\ y' = \frac{ e^{x}(4x-3x-2 x^{2} +3)- x^{2} }{ (2 e^{x} -x)^{2}} \\ \\ y' = \frac{ e^{x}(x-2 x^{2} +3)- x^{2} }{ (2 e^{x} -x)^{2}}$