Question

como calcular a derivada da função f(x)=(x+1/x+2)x(3x²+6x)

Answer 1

A derivada da função f(x)=(x+1/x+2) . (3x²+6x) é igual a 6x + 3.

Devemos primeiramente aplicar a derivada do produto, que é dada por:

$\boxed{ \bf [( f \cdot g )]' = f' \cdot g + f \cdot g'}$

• Aplicando na sua questão temos:

$\begin{array}{lr} \bf f(x) = \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \cdot(3x^2+6x)\\\\\\ \bf f'(x) = \left[\left( \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \right)\right]' \cdot (3x^2+6x) + \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \cdot \left[\left( (3x^2+6x) \right)\right]' \end{array}$

Agora, devemos aplicar a regra do quociente para que assim possamos derivar (x+1/x+2). A regra do quociente é dada por:

$\boxed{ \bf \left[\left( \frac{f}{g} \right)\right]' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}}$

• Aplicando na sua questão temos:

$\begin{array}{lr} \bf f'(x) = \left[\left( \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \right)\right]' \\\\\\ \bf f'(x)=\dfrac{ [(x+1)]' \cdot (x+2) - (x+1) \cdot [(x+2)]'}{(x+2)^2} \\\\\\ \bf f'(x) =\dfrac{ 1\cdot (x+2) - (x+1) \cdot 1}{(x+2)^2} \\\\\\ \boxed{ \bf f'(x)=\dfrac{ 1 }{(x+2)^2} }\end{array}$

Substituindo [(  (x+1/x+2) )]' por 1/(x+2)²:

$\begin{array}{lr} \bf f'(x) = \left[\left( \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \right)\right]' \cdot (3x^2+6x) + \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \cdot \left[\left( (3x^2+6x) \right)\right]' \\\\\\ \bf f'(x) = \dfrac{1}{(x+2)^2} \cdot (3x^2+6x) + \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \cdot 6x + 6 \end{array}$

Poderiamos ter acabado por aqui, mas vou dar uma arrumadinha.

$\begin{array}{lr} \bf f'(x) = \dfrac{1}{(x+2)^2} \cdot (3x^2+6x) + \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \cdot 6x + 6 \\\\\\ \bf f'(x) = \dfrac{1}{(x+2)^2} \cdot \dfrac{(3x^2+6x)}{1} + \dfrac{( x + 1)}{(x+2)} \cdot \dfrac{6x+6}{1} \\\\\\ \bf f'(x) = \dfrac{3x}{x + 2} + \dfrac{6(x+1)^2}{x+2} \\\\\\ \boxed{\bf f'(x) = 6x + 3}\end{array}$

Portanto. a derivada da função  f(x)=(x+1/x+2) . (3x²+6x) é f'(x) = 6x + 3.

Veja mais sobre derivadas:

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/47019873

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/28043498

Answer 2

f(x) =[(x+1)/(x+2)]  *  (3x²+6x)

# colocando 3x  em evidência em (3x²+6x)

f(x) =[(x+1)/(x+2)]  *  3x*(x+2)

f(x) =(x+1)  *  3x

f(x)= 3x²+3x

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Utilizando a regra do Tombo

y=a*x^b

y'=a*b*x^(b-1)

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f'(x) =6x+3  é a resposta