Question

como calcular a derivada (2x+1/3x+4)^4

Answer 1

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Calcular a derivada da função:

$\mathsf{y=\left(\dfrac{2x+1}{3x+4}\right)^{4}}$


Podemos enxergar y como uma função composta:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{y=u^4}\\\\ \mathsf{u=\dfrac{2x+1}{3x+4}} \end{array}\right.$


Então, aplica-se a Regra da Cadeia aqui. Dessa forma, a derivada de y com relação a x é

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{du}(u^4)\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{2x+1}{3x+4}\right)}$


Para a primeiro fator, use a regra da potência, e para o segundo fator, use a regra do quociente:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=4u^{4-1}\cdot \dfrac{\frac{d}{dx}(2x+1)\cdot (3x+4)-(2x+1)\cdot \frac{d}{dx}(3x+4)}{(3x+4)^2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=4u^3\cdot \dfrac{2\cdot (3x+4)-(2x+1)\cdot 3}{(3x+4)^2}\qquad\qquad mas~~u=\dfrac{2x+1}{3x+4}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=4\cdot \left(\dfrac{2x+1}{3x+4}\right)^3\cdot \dfrac{\;\diagup\!\hspace{-8}6x+8-\diagup\!\hspace{-8}6x-3}{(3x+4)^2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=4\cdot \left(\dfrac{2x+1}{3x+4}\right)^3\cdot \dfrac{5}{(3x+4)^2}}$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=20\cdot \dfrac{(2x+1)^3}{(3x+4)^3}\cdot \dfrac{1}{(3x+4)^2}}$


∴      $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{20\cdot (2x+1)^3}{(3x+4)^5}}\end{array}}$          ✔


Bons estudos! :-)


Tags:  derivada função composta regra da cadeia regra do quociente cálculo diferencial integral