Question

como calcula o volume de um solido

Answer 1

Observe: 

Solução 

Vamos construir o gráfico com as respectivas intersecções, temos: 

Fazendo x = 0 em x + y = 2 , fica; 

y = 2 

Fazendo y = 0 em x + y = 2 , fica; 

x = 2 

Fazendo y = 0 em z = 1 - y² , resulta; 

z = 1 

Fazendo z = 0 em z = 1 - y² , resulta; 

y = ± 1 

E por fim, fazendo a intersecção de x + y = 2 com z = 1 - y², temos: 

z = 1 - ( 2 - x )² ⇒ z = - 3 + 4x - x² 

Obs. Essa última intersecção não era necessária, é apenas para mostrar uma outra maneira de resolver esta questão. Faça x = 0 ⇒ z = - 3 ( não vai fazer parte do gráfico devido as limitações dada ) , fazendo z = 0 ⇒ x = 1 ou x = 3( também não vai fazer parte do gráfico devido a região limitada ) , resumindo , vamos trabalhar somente com x = 1 para a construção da região limitada. 

O volume será dado por: 

V = ∫∫ƒ( x , y ) dx dy 

Onde , ƒ( x , y ) = z = 1 - y² e os limites de integração são 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 2 - y ( ver gráfico ), daí; 

... ..1.. .2 - y 
V = ∫... ...∫( 1 - y² ) dx dy 
... .0.. ...0 

... ..1.. ..... ....2 - y 
V = ∫[ x - y².x ] dy 
... .0.... .... ....0 

... ..1 
V = ∫[ 2 - y - y².( 2 - y ) ] dy 
... .0 

... ..1 
V = ∫( 2 - y - 2y² + y³ ) dy 
... .0 

... ....... ............... ............... ........ ..1 
V = [ 2y - ( y²/2 ) - ( 2y³/3 ) + ( y⁴/4 ) ] 
... .......... .............. ............... .........0 

V = 2 - ( 1/2 ) - ( 2/3 ) + ( 1/4 ) = ( 24 - 6 - 8 + 3 )/12 = 13/12 

Portanto , o volume procurado vale: 

R ──────► V = 13/12 u.v. 

Obs. Uma outra maneira seria ( mais trabalhoso ): 

... ..1.. .1......... ........ ....2.. 2 - x 
V = ∫.. ..∫( 1 - y² ) dy dx + ∫.. ..∫( 1 - y² ) dy dx = 13/12 u.v. ( ver gráfico ) 
... .0.. .0....... ......... ......1.. .0 

Abraços ! Espero Ter Melhor Resposta :)