Question

como acho derivada da seguinte conta?

() = ³√sen²x

Answer 1

Bom dia, Roberto!

Para calcular essa derivada, podemos aplicar a regra da cadeia.

Temos a função:

f(x) = ∛sen²x

Percebe-se que existe uma composição de funções, ou seja, temos:

f(x) = g(h(x))

Em que h(x) = sen²x e g(x) = ∛x, cujas derivadas são:

$h'(x) = sen^2x = senx . sen x = cosx.senx + senx.cosx = \boxed{h'(x)=2.senx.cosx}$

$g(x) = x^{\frac{1}{3}} \rightarrow g'(x) = \frac{1}{3}.x^{\frac{-2}{3}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \boxed{g'(x) = \frac{1}{3.\sqrt[3]{x^2}}}$

Logo, tem-se que g'(h(x)) é:

$g'(h(x)) = \frac{1}{3.\sqrt[3]{(sen^2x)^2}}$

Aplicando a regra da cadeia, que diz que devemos derivar função interna e multiplicar pela derivada da externa.

f'(x) = g'(h(x)) . h'(x)

Fazendo todos os cálculos e simplificando, ficamos com:

$\boxed{f'(x) = \frac{2.cosx}{3.\sqrt[3]{senx}}}$