Question

Como achar o MMC de (x²-9)e(x²+6x-9)

Answer 1

Para encontrar o mmc entre polinômios, devemos tentar fatorar os polinômios o máximo possível, isto é, como produto de polinômios de grau 1, ou de grau 2 irredutíveis:

• Fatorando (x² - 9):

$\boxed{\begin{array}{c}x^2-9=(x-3)(x+3)\end{array}}$


• Fatorando (x²+6x-9):

$\Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=6^2-4\cdot 1\cdot (-9)\\\\ \Delta=36+36\\\\ \Delta=72=6^2\cdot 2$


As raízes de (x²+6x-9) são

$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ x=\dfrac{-6\pm \sqrt{6^2\cdot 2}}{2\cdot 1}\\\\\\ x=\dfrac{-6\pm 6\sqrt{2}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (-3\pm 3\sqrt{2})}{\diagup\!\!\!\! 2}\\\\\\ x=-3\pm 3\sqrt{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl}x_1=-3-3\sqrt{2}&~\text{ e }~&x_2=-3+3\sqrt{2} \end{array}$



Portanto, a forma fatorada é

$x^2+6x-9=(x-x_1)\cdot (x-x_2)\\\\\\ x^2+6x-9=\big(x-(-3-3\sqrt{2})\big)\cdot \big(x-(-3+3\sqrt{2})\big)\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x^2+6x-9=\big(x+3+3\sqrt{2}\big)\cdot \big(x+3-3\sqrt{2}\big) \end{array}}$

______________

Observe que (x² - 9) e (x² + 6x - 9) não têm fatores em comum. Portanto o mmc é o produto entre eles:

$(x^2-9)\cdot (x^2+6x-9)$


Bons estudos! :-)