Matemática, perguntado por bg286742, 7 meses atrás

como achar o limite quando x tende a menos infinito da função raiz quadrada de x^4 + 3x^2+ 1 dividido por 2x+ 3

Soluções para a tarefa

Respondido por Buckethead1

✅ Observando que temos de calcular um limite no infinito e tomando a devida técnica, obteremos

$\displaystyle\rm \lim_{x\to-\infty} \frac{x^4+3x^2+1}{2x+3} = -\infty$

☁️¹ Limite no infinito: A resolução de um processo limite no infinito resulta em trocarmos a função por outra com o mesmo comportamento quando a variável independente tende para valores arbitrariamente grandes em módulo, isto é, tão grande quando quisermos em valor absoluto. Não podemos fazer as manipulações indiscriminadamente, mas com a noção de que infinito é uma ideia, será suficiente.

☁️² Definição: $\rm \psi = \psi(x)$ é um infinitesimal ou infinitamente pequeno quando $\rm x\to a$ ou $\rm x\to \pm\infty$ se $\displaystyle\rm\lim_{x\to a} \psi(x) = 0$ ou $\displaystyle\rm\lim_{x\to \pm\infty} \psi(x) = 0$ .

$\large\begin{array}{lr}\rm Ex.\!\!:~\psi(x) = \dfrac{1}{x}\\\\ ~~~~\quad\displaystyle\rm\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0 \end{array}$

Então, dizemos que $\rm\psi(x)$ é um infinitesimal.

✍️ Solução: A técnica a ser utilizada é dividir todos os termos da função racional pelo termo de maior crescimento presente no denominador. Veja que no numerador vai sobrar um termo cúbico e é ele que vamos levar em consideração:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm\lim_{x\to-\infty}\overbrace{\normalsize\rm \frac{x^4+3x^2+1}{2x+3} }^{\rm \eta(x)} &=\displaystyle\rm \lim_{x\to-\infty} \frac{\frac{x^4+3x^2+1}{x} }{\frac{2x+3}{x}} \\\\&=\displaystyle\rm\lim_{x\to-\infty} \frac{\frac{x^4}{x}+\frac{3x^2}{x}+\frac{1}{x} }{\frac{2x}{x}+\frac{3}{x}} \\\\&=\displaystyle\rm\lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+3x+0}{2+0} \\\\&=\displaystyle\rm\frac{1}{2}\lim_{x\to-\infty} x^3+3x \\\\&=\displaystyle\rm\frac{1}{2}\lim_{x\to-\infty} x^3 = -\infty \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\:\lim_{x\to-\infty} \eta(x) = -\infty }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array}$

✔️ Considerações: Note que ao final de tudo o comportamento de $\rm\eta(x)$ é o mesmo da função $\rm \varphi(x) = x^3$ , ou seja, quando $\rm x$ fica grande tanto quando queiramos por valores negativos, a função estoura para $-\infty$ . Outro ponto é que da quarta para a quinta passagem eu tinha $\rm x^3 + 3x$ no limite e usei somente o $\rm x^3$ , isso ocorre pois estamos fugindo das indeterminações como é o caso de $\rm -\infty + \infty$ , daí eu posso fatorar ou apenas analisar o termo que tem maior crescimento.