Question

Como achar o conjunto solução dessa equação trigonométrica?
2cosx²= 3cosx -1 no intervalo [0, 2π]

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica:

     2 cos² x = 3 cos x − 1

no intervalo [0, 2π].


Faça uma mudança de variável:

     $\mathsf{cos\,x=t\qquad\quad com~~-1\le t\le 1}$


e a equação fica

     $\mathsf{2t^2=3t-1}\\\\ \mathsf{2t^2-3t+1=0}$


Esta é uma equação quadrática na variável t, cujos coeficientes são

     $\mathsf{a=2,~~b=-3,~~c=1.}$


Resolva usando a fórmula resolutiva de Báscara:

     $\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1}\\\\ \mathsf{\Delta=9-8}\\\\ \mathsf{\Delta=1}$


     $\mathsf{t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{3\pm 1}{4}}\\\\\\ \begin{array}{rcl}\mathsf{t=\dfrac{3-1}{4}}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{t=\dfrac{3+1}{4}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{2}{4}}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{t=\dfrac{4}{4}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{1}{2}}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{t=1}\end{array}$


Volte para a variável x:

      $\mathsf{cos\,x=\dfrac{1}{2}}\qquad\mathsf{ou}\qquad\mathsf{cos\,x=1}$


As equações acima são elementares. No intervalo [0, 2π], as soluções são

     $\begin{array}{lcl} \mathsf{cos\,x=\dfrac{1}{2}}&\quad\Longrightarrow\quad& \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}\qquad ou \qquad x=2\pi-\dfrac{\pi}{3}}\\\\ &&\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}\qquad ou \qquad x=\dfrac{5\pi}{3}}\\\\\\\\ \mathsf{cos\,x=1}&\quad\Longrightarrow\quad& \mathsf{x=0\qquad ou \qquad x=2\pi} \end{array}$


Conjunto solução:  $\mathsf{S=\Big\{0,\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3},\,2\pi\Big\}.}$


Bons estudos! :-)