como achar fração geratriz de uma dizima periodica
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Como calcular a fração geratriz
Vamos dividir em dois casos. O primeiro é quando a dízima periódica é simples, e o segundo é quando a dízima periódica é composta.
Fração geratriz de uma dízima periódica simples
Começando com a dízima periódica simples, para encontrar a fração geratriz, podemos seguir alguns passos.
1º passo: igualar a dízima periódica a x.
2º passo: multiplicar os dois lados da igualdade por 10, se houver somente um algarismo no período; por 100, se houver dois algarismos no período; por 1000, se houver três algarismos no período, e assim sucessivamente.
3º passo: calcular a diferença entre a equação encontrada e a equação do 1º passo.
4º passo: encontrar o valor de x na equação.
Exemplo 1:
Encontre a fração geratriz da dízima 1,444…
1º passo: igualar a dízima periódica a x.
x = 1,444…
2º passo: encontrar a quantidade de algarismos na parte periódica.
Perceba que há apenas o número 4 se repetindo na parte periódica, logo há 1 elemento no período, então multiplicaremos os dois lados da equação por 10.
10x = 1,444… × 10
10x = 14,444 …
3º passo: calcular a diferença entre as equações do 1º passo e do 2º passo.
10 x – x = 14,444 … – 1,444…
9x = 13
4º passo: resolver a equação.
x = 13/9
Então, a fração geratriz da dízima é:

Exemplo 2:
Encontre a fração geratriz da dízima 4,121212…
1º passo: igualar a dízima periódica a x.
x = 4,121212…
2º passo: encontrar a quantidade de algarismos na parte periódica.
Perceba que 12 está se repetindo na parte periódica, logo há 2 elementos no período, então multiplicaremos os dois lados da equação por 100, então:
100x = 4,121212… × 100
100x = 412,121212 …
3º passo: calcular a diferença entre as equações do 1ª passo e do 2º passo.
100x – x = 412,1212 … – 4,121212…
99x = 408
4º passo: resolver a equação.
x = 408/99
A fração geratriz da dízima é:

Fração geratriz de uma dízima periódica composta
Para encontrar a fração geratriz de uma dízima composta, acrescentamos um novo passo na resolução. Inicialmente, transformamos a dízima periódica composta em uma dízima periódica simples, e os demais passos são análogos ao 1º caso.
Exemplo:
Encontre a fração geratriz da dízima 5,23333...
Note que essa dízima é composta, pois há, na sua parte decimal, um número que não se repete, conhecido como antiperíodo. No caso dessa dízima periódica, 2 é o antiperíodo.
Para transformar essa dízima periódica composta em uma dízima periódica simples, multiplicaremos por 10.
x = 5,2333…
10x = 5,2333… × 10
10x = 52,333…
Agora que há uma dízima periódica simples, aplicaremos os mesmos passos aplicados para as dízimas periódicas simples.
Como há apenas um número no período, multiplicaremos a dízima por 10.
100x = 52,333… × 10
100x = 523,333…
Agora calcularemos a diferença entre 100x e 10x:
100x – 10x = 523,333… – 52,333…
990x = 471
x = 471/ 990
Então, a fração geratriz da dízima é: