Comece uma sequência escrevendo dois números inteiros não negativos, sendo o primeiro maior do que o segundo. Depois, para encontrar os próximos termos da sequência, repita o seguinte procedimento:
• se o último termo escrito for maior do que o penúltimo, a sequência termina;
• caso contrário, o próximo termo a ser escrito será o penúltimo menos o último.
Um exemplo é a sequência 120, 71, 49, 22, 27; ela começa com 120 e 71 e possui cinco termos.
a) Escreva a sequência que começa com 30 e 16.
b) Escreva a sequência que possui exatamente cinco termos, sendo o quarto termo igual a 1 e o quinto termo igual a 2.
c) Uma sequência que começa com 25 tem exatamente três termos. Quais são os valores possíveis para o segundo termo?
d) Uma sequência que começa com 60 tem o maior número possível de termos. Qual é o valor do segundo termo dessa sequência?
Soluções para a tarefa
30, 16, 14, 2, 12
b)
7, 4, 3, 1, 2
c)
25, 0, 25
23, 1, 24
25, 2, 23
.
.
.
25, 12, 13
Os possíveis valores são:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12
d)
60, x , 60-x , 2x-60 , 120-3x , 5x-180 , 300-8x , 13x-480 , ....
0 ≤ x < 60 do 2° termo
60-x ≥ 0 do 3° termo
-x ≥ -60 .(-1)
x ≤ 60
2x-60 ≥ 0 do 4° termo
2x ≥ 60
x ≥ 60/2
x ≥ 30
120-3x ≥ 0 do 5° termo
-3x ≥ -120 .(-1)
3x ≤ 120
x ≤ 120/3
x ≤ 40
5x-180 ≥ 0 do 6° termo
5x ≥ 180
x ≥ 180/5
x ≥ 36
300-8x ≥ 0 do 7° termo
-8x ≥ -300 .(-1)
8x ≤ 300
x ≤ 300/8
x ≤ 37,5
13x-480 ≥ 0 do 8° termo
13x ≥ 480
x ≥ 480/13
x ≥ 36,9
36,9 ≤ x ≤ 37,5
Como x é um número inteiro, então x=37.
A sequência terá 9 termos:
60, 37, 23, 14, 9, 5, 4, 1, 3
O segundo termo será 37.
As sequências são a) 30, 16, 14, 2, 12, b) 7, 4, 3, 1, 2, c) os valores possíveis para o segundo termo estão no intervalo 0 ≤ segundo ≤ 12, d) o segundo termo da sequência deve ser 59.
Seguindo o padrão de escrita dos números, onde o próximo número escrito depende do penúltimo e do último, temos:
a) Sequência que inicia com 30 e 16
→ Próximo termo é 30 - 16 = 14
→ Próximo termo é 16 - 14 = 2
→ Próximo termo é 14 - 2 = 12
→ A sequência termina, pois 2 < 12
→ Assim, a sequência é 30, 16, 14, 2, 12.
b) Sequência que possui 5 termos, e o quarto termo é 1 e o quinto é 2
→ Fazendo o caminho reverso, temos que o terceiro termo menos o quarto, que é 1, resulta em 2. Assim, o terceiro termo possui a expressão terceiro - 1 = 2, ou terceiro = 1 + 2 = 3.
→ Repetindo o processo, temos que segundo - 3 = 1. Assim, segundo = 1 + 3 = 4.
→ Por fim, temos que primeiro - 4 = 3. Assim, primeiro = 3 + 4 = 7.
→ Assim, a sequência é 7, 4, 3, 1, 2.
c) Sequência inicia com 25 e tem três termos.
→ Para que o terceiro termo seja maior que o segundo, é necessário que o segundo termo seja menor que a metade de 25. Assim, para que a sequência tenha 3 termos, o segundo termo deve estar no intervalo 0 ≤ segundo ≤ 12.
→ Por exemplo, a sequência pode ser 25, 12, 13. Pode ser também 25, 7, 18.
→ Entretanto, se o segundo termo for maior que 12, temos o seguinte caso, por exemplo: 25, 13, 12, 1, 11, o que é diferente do que se deseja.
d) A sequência inicia com 60 e tem o maior número possível de termos.
→ Para isso, a diferença entre cada termo é 1. Assim, a sequência será do tipo n, n-1, n-2, n-3, ... , 2, 1, 0.
→ Assim, o segundo termo da sequência deve ser 59.
→ Com isso, temos a sequência 60, 59, 58, 57, 55, ... , 2, 1, 0.
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