Começando com qualquer numero natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que terminam em 1, seguindo repetidamente as instruções a seguir:
1) se o numero for múltiplo de 3, dividi-se por 3
2) se o numero deixar resto 1 na divisão por 3, subtrai-se 1
3) se o numero deixar resto 2 na divisão por 3, soma-se 1.
Por ex: 76-75-25-24-8-9-3-1
Nesta sequência aparecem 8 números, por isso dizemos q tem comprimento 8.
A) ESCREVA A SEQUÊNCIA QUE COMEÇA COM 100.
B) QUAIS SEQUÊNCIAS TEM COMPRIMENTO 4? (mostre todas)
Soluções para a tarefa
A) 100 - 99 - 33 - 11 - 12 - 4 - 3 - 1
B) Temos 25 sequências diferentes de comprimento 4.
Explicação passo-a-passo:
Bem, basta seguirmos as instruções dadas pela questão:
A)
100 - 99 - 33 - 11 - 12 - 4 - 3 - 1
100 tem resto 1 por 3, então subtrai 1: 99
99 por 3 é: 33
33 por 3 é: 11
11 por 3 tem resto 2, somando 1: 12
12 por 3 é: 4
4 por 3 tem resto 1, subtraindo 1: 3
3 por 3 : 1
B)
Vamos então de trás pra frente. Sabemos que cada passa da sequência existem 3 possiveis formas de se continuar:
Substraindo 1, somando 1 ou dividindo por 3.
Então partindo do 1 existem 3 opções diferentes que podem ter orignado no 1, então vamos fazer a analise combinatória de todos eles, como tem comprimento 4:
3 . 3 . 3 . 3 = 81
Ou seja, 81 formas diferentes, porém temos que retirar dessa combinação total, todas as combinações impossíveis, como por exemplo, ter uma subtração seguida de outra subtração ou soma, então vamos ver as combinações de sempre terem estas seguidas:
2.2.2.2 = 16
Ou a combinação de termos 3 somas e subtrações seguidas:
2.2.2.1 = 8 , porém temos que multiplicar por 4 para embaralhar: 32
Ou com 2 somas e subtrações seguidas:
2.2.1.1 = 4, porém temos que multiplicar por 2 para embaralhar: 8
Agora somando esses valores, temos 56 formas diferentes de se ter uma soma seguida de uma subtração ou outra soma, assim devemos subtrair este valor da combinação total:
81 - 56 = 25
Assim temos 25 sequências diferentes de comprimento 4.