Question

Começando com o intervalo fechado da reta [0,1], retiramos seu terço médio aberto ( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} ), restando os intervalos fechados [0, \frac{1}{3} ] e [ \frac{2}{3} ,1]. Repetimos agora essa operação com cada um desses intervalos que restaram, e assim por diante. Seja Sn a soma dos comprimentos dos intervalos que foram retirados depois de n dessas operações.

Mostre que S_{n} =1−( \frac{2}{3} )^{n} .


Calcule o valor para o qual S_{n} se aproxima quando {n} cresce indefinidamente.


O conjunto dos pontos não retirados é vazio? Justifique.

Answer 1

1) Para encontrarmos uma relação de progressão, podemos descrever os próximos terços médios retirados e teremos:1° etapa: (1/9; 2/9) ; (7/9; 8/9)2°etapa: (1/27 ; 2/27) ; (7/ 27; 8/27) ; (19/27; 20/27) ; (25/27;26/27)Agora, para encontrarmos a progressão devemos obter a soma dos comprimentos de cada terço de cada etapa:1° etapa: 1/9 + 1/0 = 2/92°etapa: 1/27 + 1/27 + 1/27 + 1/27 = 4/27Somente com esses dois primeiros termos podemos perceber que toda a preogressão se dará multiplicando o termo atual por 2/3. Isso sempre nos dará a soma dos comprimentos dos terços da próxima etapa.Com isso, temos uma progressão geométrica infinita de razão 2/3 e a1 1/3.E como em toda P.G, podemos calcular a soma dos n termos após n operações através da fórmula:Sn = $\dfrac{a1( q^n - 1)}{q - 1}$
Sn = $\dfrac{[\dfrac{1}{3}( \dfrac{2}{3}^n - 1)]}{ \dfrac{2}{3}- 1}$
Sn = $\dfrac{[\dfrac{1}{3}( \dfrac{2}{3}^n - 1)]}{ - \dfrac{1}{3}}$
Sn = - ( $\dfrac{2}{3}^n - 1$)
Sn = 1 - ($\dfrac{2}{3})^n$
2) O valor para o qual Sn se aproxima quando n cresce indefinidamente é justamente a soma dos termos de uma P.G infinita, que podemos calcular através da fórmula:Sn = $\dfrac{a1}{1- q}$
Sn = $\dfrac{ \dfrac{1}{3}}{1 -\dfrac{2}{3} }$
Sn = $\dfrac{\dfrac{1}{3}}{- \dfrac{1}{3}}$Sn = - 1