Question

Começando com o intervalo fechado da reta [0,1], retiramos seu terço médio aberto (1/3, 2/3), restando os intervalos fechados [0, 1/3] e [2/3, 1]. Repetimos agora essa operação com cada um desses intervalos que restaram, e assim por diante. Seja Sn a soma dos comprimentos dos intervalos que foram retirados depois de n dessas operações.

1. Mostre que Sn = 1 − (2/3)^n.

2. Calcule o valor para o qual Sn se aproxima quando n cresce indefinidamente.

3. O conjunto dos pontos não retirados é vazio? Justifique.

Answer 1

Boa tarde.

1)   Vamos analisar os casos do que retiramos a mais a vez. Depois, se somarmos, teremos Sn:

n = 1: Retiramos 1/3

n = 2: Retiramos (1/3) de cada uma das duas partes de 1/3 que sobraram, logo, Retiramos 2.(1/9) = (2/3)(1/3)

n = 3: Agora temos quatro intervalos de 1/9, e tiraremos de cada um deles 1/3, logo, reitamos 4.(1/3).(1/9) = (4/9).(1/3)= (2/3)².(1/3).

Veja que temos uma P.G. sendo formada, com primeiro termo 1/3 e razão 2/3, da forma:

$\mathsf{a_n = q^{n-1}.a_1}$

Então vamos aplicar a fórmula para calcular a soma dos termos da P.G.:

$\mathsf{S_n = \dfrac{a_1\cdot(q^n - 1)}{q-1}}\\ \\ \\ \mathsf{S_n = \dfrac{\frac13[(\frac23)^n - 1]}{\frac{2}{3}-1}}\\ \\ \\ \mathsf{S_n = \dfrac{\frac13}{-\frac13}[(\frac23)^n-1]}\\ \\ \\ \mathsf{S_n = -[(\frac23)^n - 1]}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{S_n = 1 - \left(\frac23\right)^n}}$

2)   Aqui não temos nada mais que o limite da soma dos termos de uma PG infinita(de razão entre -1 e 1), que pode ser calculado por:

$\mathsf{lim\ S_n = \dfrac{a_1}{1-q}}\\ \\ \\ \mathsf{lim \ S_n = \dfrac{\frac13}{1-\frac23} = \dfrac{\frac13}{\frac13}}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{lim \ S_n = 1}}$

3)   O conjunto dos pontos não retirados é vazio?

Quando n é finito, é fácil ver que sempre sobra algum intervalo com pontos para se retirar, então o conjunto dos pontos não retirados não é vazio.

Quando n fica indefinidamente grande, o comprimento dos pontos não retirados fica muito próximo de zero, mas simplesmente não conseguimos fazer com que seja exatamente zero, precisaríamos de um número infinitamente grande para isso. Como o infinito não é um número, e sim uma ideia, o conjunto dos pontos não retirados não é vazio.

Veja o comprimento total retirado em 1). Se quisermos Sn = 1(quando todos os pontos foram retirados), precisaríamos de que (2/3) elevado a algum número valesse zero, mas isso simplesmente não ocorre.


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