Question

combinação e arranjo. calcule.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Estudosa, como agora você colocou a foto da questão, ficou bem fácil de resolver.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Tem-se as seguintes questões propostas que, pelo modo de suas escritas, querem dizer isto:

a) C₍₂, ₓ) = C₍₄, ₍ₓ₊₂₎₎ ---- Combinação de "2" elementos tomados "x" a "x" é igual a Combinação de "4" elementos tomados "(x+2)" a "(x+2)". Na definição do símbolo de Combinação, o termo que está em baixo é o número de elementos e o termo que está em cima é o número de partes em que vai ser tomado esse número de elementos.

Antes veja que C₍ ̪ , ᵨ₎ --- (combinação de "n" elementos tomados "p" a "p") é dado por:

C₍ ̪ , ᵨ₎ = n!/[(n-p)!p!]

Tendo, portanto a fórmula acima como parâmetro, então vamos resolver a expressão do item "a" que informa isto:

C₍₂, ₓ) = C₍₄, ₍ₓ₊₂₎₎ ---- passando para a fórmula de combinação, teremos:

2!/[(2-x)!x!] = 4!/[(4-(x+2))!(x+2)!] ----- desenvolvendo, temos:
2!/[(2-x)!x!] = 4!/[(4-x-2)!(x+2)!] ---- continuando, teremos:
2!/[(2-x)!x!] = 4!/[(2-x)!(x+2)!] ---- no denominador do 2º membro vamos desenvolver (x+2)! até x!. Assim, fazendo isso iremos ficar com:

2!/[(2-x)!x!] = 4!/[(2-x)!(x+2)*(x+1)*x!] ---- Agora note que se multiplicarmos ambos os membros por (2-x)!x! iremos ficar apenas com (note que, com isso, simplificaremos "(2-x)!x!" do numerador com "(2-x)!x!" do denominador):

2! = 4!/[(x+2)*(x+1) ---- desenvolvendo os fatoriais de 2! e de 4! e também desenvolvendo o produto (x+2)*(x+1), iremos ficar assim:

2*1 = 4*3*2*1/[(x²+3x+2)] ---- continuando, temos:
2 = 24/(x²+3x+2) ---- multiplicando-se em cruz, admitindo que x²+3x+2≠0, teremos:

2*(x²+3x+2) = 24 ---- desenvolvendo o produto indicado no 1º membro, temos:

2x² + 6x + 4 = 24 ---- passando '24" para o 1º membro, teremos:
2x² + 6x + 4 - 24 = 0 ---- ou apenas:
2x² + 6x - 20 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

x² + 3x - 10 = 0 ---- Se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

x' = -5 --- raiz descartada, pois não existe fatorial de números negativos.
x'' = 2 --- raiz válida.

Logo, a resposta para a expressão do item "a" será:

x = 2 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) A₍₂, ₓ) = 4x + 6 ----- aqui temos: Arranjo de "2" elementos tomados "x" a "x" é igual a "4x+6"

Note que Arranjo de "n" elementos tomados "p" a "p" é dado por:

A₍ ̪ , ᵨ₎ = n!/(n-p)!

No caso de Arranjo, a exemplo de Combinação, temos que: Na definição do símbolo de Arranjo, o termo que está em baixo é o número de elementos e o termo que está em cima é o número de partes em que vai ser tomado esse número de elementos.

No caso da sua questão do item "b", em que temos Arranjo de 2 elementos tomados "x" a "x" (note que o "2" está em baixo e o "x" está em cima, pelo menos é assim que você escreveu), teremos isto:


A₍₂, ₓ₎ = 4x + 6 ----- colocando o Arranjo na sua fórmula, teremos:

2!/(2-x)! = 4x + 6 ----- note que aqui não vamos NUNCA encontrar um número inteiro como resposta pois não vamos ter como simplificar (2-x)! Só iríamos ter uma resposta viável se a escrita fosse com o "x" em baixo e o "2" em cima, pois aí iríamos ter isto: A₍ₓ, ₂₎ ---- Arranjo de "x" elementos tomados "2" a "2". Aí, sim, teríamos uma resposta "digna" de Arranjos, pois iríamos ter isto:

A₍ₓ, ₂) = x!/(x-2)! ---- e aí, igualando a "4x+6" iríamos ter:

x!/(x-2)! = 4x + 6 ---- desenvolvendo x! até (x-2)!, teremos:

x*(x-1)*(x-2)!/(x-2)! = 4x + 6 --- simplificando-se (x-2)! do numerador com (x-2)! do denominador, ficaremos apenas com:

x*(x-1) = 4x + 6 ---- desenvolvendo, teremos:
x² - x = 4x + 6 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, temos:
x² - x - 4x - 6 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 5x - 6 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = -1 <--- raiz descartada, pois só existe fatorial de números positivos.
x'' = 6 <--- raiz válida.

Assim, a prevalecer a nossa proposição, a resposta para o item "b" seria:

x = 6 <--- Esta seria a resposta. Ou seja, a resposta seria esta se prevalecer o que propusemos para a questão do item "b".

Portanto, você terá que ver qual é a resposta dos gabaritos das duas questões, pois o que fizemos, principalmente para a questão do item "b", foi uma tentativa de "adivinhar" a forma correta de escrita das questões postas por você.
Por isso é que o ideal seria você colocar uma foto da questão mas tirada da sua origem, ou seja, tirada do livro ou da apostila de onde estariam essas duas questões.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.