Question

Com x≠-2 e x≠+2.Determine as raizes dessa equação no conjunto dos números reais.

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Answer 1

Resposta:

$3, -3, \sqrt{3} \ e \ -\sqrt{3}$

Explicação passo-a-passo:

O segredo da questão é chamar x² de y, por exemplo. Assim, a equação acaba virando de segundo grau.

$y - 7 = \dfrac{1+y}{y-4}\\\\(y-7)(y-4)=1+y\\y^2-4y-7y+28=1+y\\y^2-11y+28=1+y\\y^2-12y+27=0$

Resolvendo essa equação do segundo grau:

$\Delta = b^2 - 4ac\\\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27\\\Delta = 144 - 108\\\Delta = 36$

Raízes:

$y=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\y=\dfrac{-(-12) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}\\\\y=\dfrac{12 \pm 6}{2}\\ y = 6 \pm 3\\y = 3 \ ou \ 9$

Mas a questão pede as raízes e x, e não em y. Isso é fácil de achar porque no início chamamos x² de y, ou seja $x^2 = y$

Então, x pode ser $+\sqrt{y} \ ou \ -\sqrt{y}$, e como y pode ter dois valores, x pode ser:

$x= \boxed{\sqrt{3}}\\x = \boxed{-\sqrt{3}} \\x = \sqrt{9} = \boxed{3}\\x = -\sqrt{9} = \boxed{-3}$