Question

com uma corda de 40m de comprimento construímos um quadrado e com a mesma corda construímos depois de um trapézio isósceles cuja base maior é o dobro da menor e cujo lado oblíquo tem a medida igual a base menor determine a razão entre as áreas do quadrado e área do trapézio.

Answer 1

Do enunciado temos que 40 m equivale ao perímetro de um quadrado.

Para calcular o perímetro do quadrado, faremos:

$P_{\square}\,\,=\,\,l+l+l+l\,\,=\,\,\boxed{4\,l}$

Com isso conseguimos determinar o valor de L e utiliza-lo no cálculo da área deste quadrado.

$4\,l=40\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\boxed{l=10\,\,\,m}\\ \\ \\ \text{Area do quadrado}=S_{\square}\\ \\ \\S_{\square}=l^{2}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,S_{\square}=10^{2}=\boxed{100\,\,m}$

Com a mesma corda conseguimos o perímetro de um trapézio de lados conforme anexo.

Fazendo a soma de seus lados teremos:

$P_{T}=x+x+x+2x=5x\\ \\ \\ 5x=40\,\,\,\,\to\,\,\,\,\boxed{x=8\,\,m}$

A área do trapézio calcula-se da seguinte forma:

$S_{T}=\dfrac{(B\,+\,b)\,h}{2}$

A altura h calculamos pelo Teorema de Pitágoras.

$h=\sqrt{8^{2}-4^{2}}\\ \\ h=\sqrt{64-16}\\ \\ h=\sqrt{48}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\boxed{h=4\sqrt{3}}$

Substituímos na área.

$S_{T}=\dfrac{(16+8)\,4\,\sqrt{3}}{2}\,\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\,\boxed{S_{T}=48\,\sqrt{3}}$

Fazendo a razão entre as áreas:

$\dfrac{S_{\square}}{S_{T}}=\dfrac{100}{48\,\sqrt{3}}=\dfrac{25}{12\,\sqrt{3}} \\ \\ \\ \text{Racionalizando}\\ \\ \\ \dfrac{S_{\square}}{S_{T}}=\dfrac{25}{12\,\sqrt{3}}\,.\,\dfrac{12\,\sqrt{3}}{12\,\sqrt{3}}=\boxed{\boxed{\dfrac{25\,\sqrt{3}}{36}}}$