Question

Com sabe na figura e sabendo que BÂD = ADB = 60 grau, analise as seguintes afirmações:

I) o triângulo ABD é equilátero
II) o triângulo BCD é isósceles
III)AB = CD
IV) a área do triângulo ABD é igual a área do triângulo BCD

É correto afirmar:

Alternativa 1:
I e II, apenas.

Alternativa 2:
I e IV, apenas.

Alternativa 3:
I, II e III, apenas.

Alternativa 4:
II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:
I, II, III e IV.

Answer 1

Resposta:

Alternativa 5

Explicação passo a passo:

Inseri a imagem só para facilitar a observação de alguns pontos que abordarei aqui nessa explicação:

Primeiro vejamos as informações dadas:

$BÂD = ADB = 60^{o}$

Para facilitar um pouco mais chamarei esses dois ângulos de $\beta$ a partir desse ponto:

Veja que o triângulo ABD é formado pelos dois ângulos $\beta$ citados acima mais o ângulo ABD que chamarei de $\theta$:

Sabemos que a Soma dos ângulos internos de um triângulo equivale a $180^{o}$ na geometria euclidiana.

Portanto:

$S_{\Delta ABD} = \beta + \beta + \theta = 180^{o}\\\\S_{\Delta ABD} = 2\beta + \theta = 180^{o}$

Temo que:  $\beta = 60^{o}$

Portanto:

$S_{\Delta ABD} = 2\beta + \theta = 180^{o}\\\\S_{\Delta ABD} = 2*60^{o} + \theta = 180^{o}\\\\120^{o} + \theta = 180^{o}\\\\\theta = 180^{o} - 120^{o}\\\theta = 60^{o}$

Com isso concluíumos que:

O $\Delta ABD$ é equilátero, pois possui todos os ângulos de valor igual a $60^{o}$

Com isso também podemos usurfruir da propriedade de que todos os lados desse triângulo são iguais e que os chamarei de L.

Veja que dada as alternativas não há opção que determine que somente a afirmação I seja correto e a partir daí teriamos q testar hipóteses para que cada uma fosse verdadeira, o irônico (ou não, já que foi esse o propósito de quem fez essa questão) é que as afirmações se reafirmam, veja:

II) O $\Delta BCD$ é isósceles

III) AB = CD

Ao dizer que a opção III é verdadeira automaticamente a II também se torna uma verdade, faltando só confirmar a IV. Como fazer isso?

Primeiramente é interessante enxergar que o ângulo $\alpha$ que esboço na imagem é um ângulo externo a um dos ângulos do $\Delta ABD$ e relembramos que a soma de um ângulo interno com um ângulo externo é suplementar, ou seja:

$a_{interno} + a_{externo} = 180^{o}$

Porém o $\Delta ABD$ é equilátero e todos os seus ângulos possuem valor igual a $60^{o}$, logo:

$a_{interno} + a_{externo} = 180^{o}\\\\60^{o} + a_{externo} = 180^{o}\\\\a_{externo} = 180^{o} - 60^{o}\\\\a_{externo} = \alpha = 120^{o}$

Mas que determinar esse ângulo?! Porque ele irá nos ajudar a estudar o valor que y deve assumir para que: $A_{\Delta ABD} = A_{\Delta BCD}$ ( Para que as áreas sejam iguais)

Como assim?

Basta tomarmos a seguinte fórmula:

$A_{\Delta} = \frac{a*b*sen(\phi)}{2}$

$A_{\Delta}$ : Área de um triângulo qualquer

$a, b$: Lados de um triângulo qualquer

$\phi$ : Ângulo formado por esses lados

Com essas informações vejamos:

$A_{\Delta ABD} =\frac{L * L * sen(60^{o})}{2}$

$A_{\Delta BCD} = \frac{L * x * sen(120^{o}) }{2}$

Igualando as duas áreas:

$\frac{L * L * sen(60^{o})}{2} = \frac{L * x * sen(120^{o}) }{2}$

Para que as áreas sejam iguais $x = L$

Com isso criamos uma cadeia onde vemos q todas são verdadeiras dada as condições da questão.