Question

Com respeito as definições topológicas referentes a subconjuntos dos números R, analise as afirmações a seguir.

Segue imagem.

Alternativas

Alternativa 1:
I, apenas.

Alternativa 2:
III, apenas.

Alternativa 3:
I e II, apenas.

Alternativa 4:
II e III, apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Está correto o que se diz em III

O que se diz em II e em I é falso.

Vamos analisar cada uma das afirmativas.

A afirmativa I diz

Sejam $X\subset \mathbb{R}$ e $a\in \mathbb{R}$. Dizemos que $a$ e um ponto aderente à $X$ se, e somente se, existe um $\epsilon>0$ tal que $(a-\epsilon, a+\epsilon) \subset X$

A definição de ponto aderente é que sempre exista um ponto do conjunto diferente de $a$ dentro de uma vizinhança (tão pequena quanto eu queira).

$a$ e um ponto aderente à $X$ se, e somente se, existe um $\epsilon>0$ tal que $(a-\epsilon, a+\epsilon) \subset X-{a}$

Um exemplo clássico de ponto de aderência é o ponto zero em $X={x=\dfrac{1}{n} tal\, \, que \, \, n\in\mathbb{N}$.

Repare que para n muito grande, x se aproxima cada vez mais de zero. Mas ainda existem infinitos valores de n que fazem x ser menor ainda.

Repare também que x igual a zero não pertence a este conjunto.

II) Vamos separar em dois casos.

Se $A\cap B=\emptyset$ então é trivial por que eles são disjuntos e $int(A\cup B) \subset(A\cup B)$ e $int(A\cup B) \supset(A\cup B)$.

Agora, se $A\cap B\neq \emptyset$ teremos que para todo $x\in A\cap B$ existe $\epsilon>0$ tal que $(x-\epsilon, x+\epsilon) subsetA\capB$.

Portanto este conjunto é aberto.

III é verdadeiro

Primeiro, se $X$ for aberto, $int (X) \subset X$

Agora, se $X$ for aberto e existir um elemento $k\inX$ tal que $k\notin int(X)$ então não existe $\epsilon>0$ tal que $(k-\epsilon, k+\epsilon) \subset int(X)$

Isto faz com que X não seja aberto.