Question

Com relação a série.
Conforme enunciado da questão abaixo.
Quais alternativa corretas

Answer 1

Analisando a convergencia desta série, temos que a alternativa correta é a segunda, II e IV.

Explicação passo-a-passo:

A resposta desta questão já esta praticamente na própria questão, basta analisarmos a serie:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n+1}$

Vamos fazer assim como a afirmação diz e comparar esta serie com a serie:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}$

Esta segunda serie é obviamente maior que a anterior, pois se o denominador é menor, então a soma em si é maior.

Essa nova séria que estamos comparando é obviamente convergente, pois podemos escrever ela da seguinte forma:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n$

Ou seja, a cada vez que aumentamos 1 n, esta séria multiplica 1/3 pelo termo anterior, ou seja, esta é um Progressão Geometrica.

Nas progressões geometricas, quando temos uma razão menor que 1 (neste caso a razão é 1/3) a soma de uma PG é infinita e é dada pela seguinte formula:

$S=\frac{a_1}{1-q}$

Neste caso:

$S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$

$S=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$

$S=\frac{1}{2}$

Assim esta séria converge para 1/2.

Então nossa série inicial que é menor que esta, também deve convergir para um número pouco menor que 1/2:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n+1}<\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}=\frac{1}{2}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n+1}<\frac{1}{2}$

Agora vamos as alternativas:

I - Falso, pois a série que estamos trabalhando não é uma série geometrica, ela foi só comparada a uma serie geometrica, porém não é uma.

II - Verdade, pois este foi exatamente o argumento que usamos para provas a convergência desta serie.

III - Falso, pois a sequência do limite tende a 0, o que é mais um indicio de convergencia, mas ainda assim não se pode afimar a congência de uma séria somente pela convergência de sua sequência.

IV - Verdeiro, pois o teste da razão é um dos metodos de se avaliar se a sequência da serie converge ou não, dando assim mais indicios da convergencia desta série.

Assim a alternativa correta é a segunda, II e IV.