Question

Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que:

a) O ponto (0,1) e ponto de Máximo.
b) O ponto (1,1) e ponto de Máximo.
c) O ponto (-1,0) e ponto de Sela.
d) O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local.
e) O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local.

Answer 1

Primeiramente, vamos derivar a função f em relação a x e a y:

$f_x(x,y) = 3y^2+3x^2-3$
$f_y(x,y)=6xy$

Agora, vamos igualar as duas derivadas a 0:

$3y^2+3x^2-3=0$
$3x^2+3y^2=3$
$x^2+y^2=1$ (*)

$6xy=0$ (**)

De (**) temos que x = 0 ou y = 0

Se x = 0, então, substituindo em (*), temos que y = 1 ou y = -1
Se y = 0, então, substituindo em (*), temos que x = 1 ou x = -1

Logo, (0,1),(0,-1),(1,0) e (-1,0) são fortes candidatos a máximo, mínimo ou sela.

Agora, calcularemos a Hessiana, que é definida por:

$H(x,y) = f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y) - (f_{xy}(x,y))^2$

Então, temos que:

$f_{xx}(x,y) = 6x$
$f_{yy}(x,y)=6x$
$f_{xy}(x,y)=6y$

Logo, 

$H(x,y)=6x.6x-(6y)^2$
$H(x,y)=36x^2-36y^2$

Agora, lembre-se que:

Se H(a,b) > 0 e $f_{xx}(a,b) \ \textgreater \ 0$, então (a,b) é ponto de mínimo local.
Se H(a,b) > 0 e $f_{xx}(a,b) \ \textless \ 0$, então (a,b) é ponto de máximo local.
Se H(a,b) < 0, então (a,b) é ponto de sela.
Se H(a,b) = 0, nada podemos afirmar.

Logo:

            H(a,b)         $f_{xx}(a,b)$
(0,1)      -36                   6
(0,-1)     -36                  -6
(1,0)       36                    6
(-1,0)      36                   -6

Portanto, (1,0) é ponto de mínimo local.

Alternativa correta: letra d)

Answer 2

Resposta:

Portanto, (1,0) é ponto de mínimo local.

Alternativa correta: letra d)