Question

Com qual metodo eu consigo calcular essa integral?
Integral esta anexa.

Answer 1

Temos que integrar a seguinte função:

$f\left(t \right )=\dfrac{1}{2t^{2}+3t+1}$


Esta é uma função racional, pois o numerador e o denominador são polinômios em $t$.

Como o grau do numerador já é menor que o grau do denominador, então, já podemos trabalhar com o denominador, procurando completar os quadrados:

$2t^{2}+3t+1\\ \\ =\dfrac{1}{2}\cdot \left(4t^{2}+6t+2 \right )\\ \\ =\dfrac{1}{2}\cdot \left[\,\left(2t \right )^{2}+2\cdot 2t\cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+2 \,\right ]\\ \\ =\dfrac{1}{2}\cdot \left[\,\left(2t \right )^{2}+2\cdot 2t\cdot \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2} \right )^{2}+\frac{-9+8}{4} \,\right ]\\ \\ =\dfrac{1}{2}\cdot \left[\,\left(2t+\frac{3}{2} \right )^{2}-\frac{1}{4} \,\right ]\\ \\ =\dfrac{1}{2}\cdot \left[\,\left(2t+\frac{3}{2} \right )^{2}-\left(\frac{1}{2} \right )^{2} \,\right ]$


Então, a função a ser integrada é

$f\left(t \right )=\dfrac{1}{\frac{1}{2}\cdot \left[\,\left(2t+\frac{3}{2} \right )^{2}-\left(\frac{1}{2} \right )^{2} \,\right ]}\\ \\ f\left(t \right )=\dfrac{2}{\left(2t+\frac{3}{2} \right )^{2}-\left(\frac{1}{2} \right )^{2} }$


Fazendo a mudança de variável

$u=2t+\frac{3}{2}\;\;\Rightarrow\;\;du=2dt\;\;\Rightarrow\;\;dt=\frac{du}{2}\\ \\ a=\frac{1}{2}$

ficamos com

$f\left(t \right )=\dfrac{2}{u^{2}-a^{2}}\\ \\ f\left(t \right )=\dfrac{2}{\left(u-a \right )\cdot \left(u+a \right )}$


Decompondo em frações parciais a função acima, temos

$\dfrac{2}{\left(u-a \right )\cdot \left(u+a \right )}=\dfrac{A}{u-a}+\dfrac{B}{u+a}$

Multiplicando esta expressão por $u-a$, e depois fazendo $u=a$, temos:

$\dfrac{2}{u+a}=A+\dfrac{B\cdot \left(u-a \right )}{u+a}\\ \\ \dfrac{2}{a+a}=A\\ \\ A=\dfrac{2}{2a}\\ \\ \boxed{A=\dfrac{1}{a}}$


De forma análoga, multiplicando a expressão por $u+a$, e depois fazendo $u=-a$, temos:

$\dfrac{2}{u-a}=\dfrac{A\cdot \left(u+a \right )}{u-a}+B\\ \\ \dfrac{2}{-a-a}=B\\ \\ B=\dfrac{2}{-2a}\\ \\ \boxed{B=-\dfrac{1}{a}}$


Então, voltando à função, temos

$f\left(t \right )=\dfrac{\frac{1}{a}}{u-a}-\dfrac{\frac{1}{a}}{u+a}\\ \\ f\left(t \right )=\frac{1}{a}\cdot \left(\dfrac{1}{u-a}-\dfrac{1}{u+a} \right )$


Calculando a integral:

$\int{\dfrac{dt}{2t^{2}+3t+1}}\\ \\ =\int{\dfrac{1}{a}\cdot\left(\dfrac{1}{u-a}-\dfrac{1}{u+a} \right )\dfrac{du}{2}}\\ \\ =\dfrac{1}{2a}\int{\dfrac{du}{u-a}}-\dfrac{1}{2a}\int{\dfrac{du}{u+a}}\\ \\ =\dfrac{1}{2a}\mathrm{\,\ell n}\left|u-a\right|-\dfrac{1}{2a}\mathrm{\,\ell n}\left|u+a\right|+C$


Substituindo de volta para a variável original $t$, e a constante $a=\frac{1}{2}$, temos

$=\dfrac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}\mathrm{\,\ell n}\left|2t+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right|-\dfrac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}\mathrm{\,\ell n}\left|2t+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right|+C\\ \\ =\mathrm{\ell n}\left|2t+1\right|-\mathrm{\ell n}\left|2t+2\right|+C$