Matemática, perguntado por ph167530, 6 meses atrás

Com os números complexos Z = - 1 + 4i e W = 8 + ki. O produto de Z . W, será um número imaginário puro, se k for igual a :
k = - 2
k = 4
k = - 1
k = - 3
k = 5

ph167530: nh

ph167530: me ajudem

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

A alternativa que corresponde ao valor de k para que o produto dos números complexos z e w seja um número imaginário puro se encontra na alternativa a) k = – 2.

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É sabido que um número complexo se encontra na forma z = a + bi, onde:

z representa um número complexo (não precisa necessariamente ser representado só pela letra ‘‘z’’);
a é a parte real;
b é a parte imaginária (multiplicada pela unidade imaginária ‘‘i’’).

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O exercício nos informa dois números complexos: z = – 1 + 4i e w = 8 + ki. Desejamos determinar k de modo que o produto de z · w seja um número imaginário puro.

Para que um número seja considerado imaginário puro, ele precisa se encontrar na forma z = 0 + bi ⇔ z = bi. Sendo assim, ele é imaginário puro se, e só se, a parte real for nula e a parte imaginária for não nula, isto é, se a = 0 e b ≠ 0.

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Prosseguindo ao exercício, vamos fazer o produto dos números complexos informados:

$\\\large\begin{array}{l}\sf z\cdot w=\big(\!\!-1+4^{}i\big)\cdot\big(8+ki\big)\\\\\sf z\cdot w=(-1)\cdot8+(-1)\cdot ki+4^{}i\cdot8+4^{}i\cdot ki\\\\\sf z\cdot w=-\,8-ki+32^{}i+4^{}i^2k\end{array}\\\\$

Sabemos que uma unidade imaginária ao quadrado é igual a – 1, isto é i² = – 1, então:

$\\\large\begin{array}{l}\sf z\cdot w=-\,8-k^{}i+32^{}i+4^{}\cdot(-1)\cdot k\\\\\sf z\cdot w=-\,8-k^{}i+32^{}i-4^{}k\\\\\sf z\cdot w=(-\,8-4^{}k)+(-\,k^{}i+32^{}i)\\\\\sf z\cdot w=-\,8-4^{}k+(-\,k+32)^{}i\end{array}\\\\$

Dessa forma, neste produto temos que

a = – 8 – 4k (parte real);
b = – k + 32 (parte imaginária).

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, e como eu havia dito lá em cima na explicação, um número é imaginário puro se, e somente se, a parte real (a) for zero (ou seja, igual a zero):

$\\\large\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf a=0\\\\\sf\iff~~-\,8-4^{}k=0\\\\\sf\iff~~~8+4^{}k=0\\\\\sf\iff~~~4^{}k=-\,8\\\\\sf\iff~~~k=-\,\dfrac{~8~}{4}\\\\\quad\!\boldsymbol{\therefore\quad~~\boxed{\sf k=-\,2}}\end{array}\\\\$

E a parte imaginária (b) for não nula (ou seja, diferente de zero):

$\\\large\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf b\neq0\\\\\sf\iff~~-\,k+32\neq0\\\\\sf\iff~~~k-32\neq0\\\\\quad\!\boldsymbol{\therefore\quad~~\boxed{\sf k\neq32}}\end{array}\\\\$

Dessarte, o produto de z · w será um número imaginário puro se k for igual a – 2, o que corresponde à alternativa a). Note que, sendo k = – 2, então automaticamente ele nunca será igual a 32, já satisfazendo essa condição.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$