Question

Com o sistema de coordenadas da
Geometria Analítica, é possível obter a
interpretação algébrica de problemas
geométricos. Por exemplo, sabendo-se
que as retas r e s são perpendiculares,
conhecendo a equação da reta r dada
por x + y – 1 = 0 e sabendo que o ponto
P(–3, 2) pertence à reta s, é possível
encontrar o ponto Q, simétrico de P em
relação à reta r. Nesse caso, o ponto Q é
dado por

Answer 1

Boa tarde.

Inicialmente vamos encontrar a equação da reta "s". Sabemos que ela é perpendicular à reta "r".

Segundo a geometria analítica, retas perpendiculares tem coeficientes angulares opostos e inversos. Rearranjando a equação da reta "r":

$y=-x+1$

Podemos observar que seu coeficiente angular (valor que fica na frente de "x") é -1. Para a reta "s".

$a _{s} =(-1)*\frac{1}{a_r}=1$

Onde "a" é o coeficiente angular.

Agora que temos o coeficiente angular de "s", vamos descobrir seu coeficiente linear ("b") fazendo-o passar pelo ponto "P" (-3,2) e então definir sua equação:

$y=ax+b \to b=y-ax \to b=2-1*(-3)=5$

$y=x+5$

O próximo passo é verificar onde as retas se encontram. Uma forma de obtermos essa informação é igualando uma das incógnitas (por exemplo "y") das duas equações:

$x+5=-x+1 \to 2x=-4 \to x=-2$

Agora utilizamos este valor de x em qualquer uma das equações. Vamos substituir na equação da reta "r":

$y=-x+1 \to y=-(-2)+1=3$

Como temos a distância entre o ponto "P" e a intersecção das retas, podemos descobrir os valores de "x" e "y" para o ponto "Q". Como este é simétrico à "P" em relação à reta r:

$x_Q=x_{interseccao}+(x_{interseccao}-x_{P})$

$x_Q=-2-2+3=-1$

De forma semelhante para "y":

$y_Q=y_{interseccao}+(y_{interseccao}-y_{P})$

$y_Q=3+3-2=4$

Portanto as coordenadas do ponto Q são (-2,4).

Espero ter ajudado! Bons estudos!