Question

COM CÁLCULOS E MUITO BEM EXPLICADO POR FAVOR, PASSEI NA 2° FASE DA OBMEP E ESTOU VENDO AS PROVAS ANTERIORES Numa sala de aula, o professor fez uma votação para ver se adiava ou não a data da prova de
Matemática. Todos os alunos votaram e como resultado um terço dos alunos foi contra o
adiamento e o restante a favor. Vários alunos argumentaram e o professor fez nova votação, na
qual 8 alunos mudaram de opinião, de modo que 5/9 dos alunos passaram a ser contra o
adiamento da prova. No máximo, quantos alunos participaram da votação?

Answer 1

Consideremos o total de alunos igual a "x"

Após a primeira votação ficou:

x/3     contra           2x/3   a favor

Observe que 5/9 > 1/3, logo os 8 alunos que eram a favor (estavam entre os 2/3 que tinham votado a favor)

Ou seja   $\frac{x}{3}+8=\frac{5}{9}x\\ \\ \frac{5}{9}x-\frac{1}{3}x=8\\ \\ \frac{2}{9}x=8\\ \\ 2x=72\\ \\ x=36 \ alunos$

Conferindo:

No começo 1/3 de 36 = 12 votaram contra    e logo 24 votaram a favor

Na segunda votação 12 + 8 = 20 votaram contra

e 20/36 = 5/9

Absolutamente correto.

Obviamente que há outras soluções, mas 36 é a menor delas, conforme solicitado pelo enunciado.