Question

Com calcula o domínio de $\sqrt{x²-4x+2}$? com explicação por favor.

Answer 1

Quando há uma raíz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior do que zero ou igual a zero, portanto, esse será o domínio.

x² - 4x + 2 ≥ 0

Encontre as raízes como se fosse uma equação normal. Como esse não é objetivo aqui, vou apenas jogar os valores:

x' = 2 + √2
x" = 2 - √2

Escreva a equação na forma fatorada, usando
( x - raíz ) * ( x - raíz ):

( x - [ 2 + √2 ] ) * ( x - [ 2 - √2 ] ) ≥ 0

( x - 2 - √2 ) * ( x - 2 + √ 2 ) ≥ 0

Existem duas formas de um produto ser maior que zero ou igual a zero.
Ou ambos os termos são maiores ou iguais zero, ou ambos são menores ou iguais a zero. Exemplo:

2 * 2 = 4

-2 * -2 = 4

Então basta analisar os casos agora. Primeiro vamos ver com ambos positivos ou iguais a zero:

x - 2 - √2 ≥ 0 →→ x ≥ 2 + √2

x - 2 + √2 ≥ 0 →→ x ≥ 2 - √2

Encontre a interseção e escreva em forma de intervalo. Veja que se um certo número tem que ser maior que 2 - √2 e simultaneamente maior que 2 + √2, apenas esse segundo caso interessa. Se o número é maior que 2 + √2, ele consequentemente é maior que 2 - √2.

O intervalo será:

[ 2 + √2 ; + ∞ [

______________

Segundo caso ( ambos negativos ou iguais a zero):

x - 2 - √ 2 ≤ 0 →→ x ≤ 2 + √2

x - 2 + √2 ≤ 0 →→ x ≤ 2 - √2

Analogamente, a única situação que importa é x ≤ 2 - √2. Se um número precisa ser menor que 5 e menor que 3, então só ser menor que 3 interessa, pois sendo menor que 3, automaticamente será menor que 5.

O intervalo será:

] -∞ ; 2 - √2 ]

________________

Agora basta unir os intervalos, que é a parte mais fácil. Basta colocar a letra U no meio dos dois intervalos :)

O domínio é:

$\boxed {\boxed{x \in \: \left] - \infty \: ; \: 2 - \sqrt{2} \right] \: U \: \left[ 2 + \sqrt{2} \: ; \: + \infty \right [ }}$