com base no texto apresentado na seção leitura e análise de texto, mostre que:
a) Sen a = Cos b
b) sen b= cos a
C) cossec B= sec a
d) tg a= cotg b
e) sec a= 1/ cos a
f) cossec b = 1/ sen B
g) tg a = sen a/ cos b
h) cotg a = cos a/ sen a
i) sen^2 a+ cos^2 = 1
J) 1 tg^2 a = sec^2 a
k) 1+ cotg^2 a = cossec^2 a
Soluções para a tarefa
Em um triangulo retangulo
a + b = 90 então
a) sen(a) = cos(b)
b) sen(b) = cos(a)
c) csc(b) = sec(a), 1/sen(b) = 1/cos(a), sen(b) = cos(a)
d) tg(a) = cotg(b), sen(a)/cos(a) = cos(b)/sen(b)
e) sec(a) = 1/cos(a) é uma definição
f) csc(b) = 1/sen(b) é uma definição
g) tg(a) = sen(a)/ cos(a) é uma relação
h) cotg(a) = cos(a)/sen(a) é uma relação
i) sen²(a) + cos²(a) = 1 relação fundamental da trigonometria
j) 1 + tg²(a) = sec²(a) é uma identidade trigonométrica
k) 1 + cotg²(a) = csc²(a) é uma identidade trigonométrica
As demonstrações das identidades trigonométricas estão descritas abaixo.
a) Considere o triângulo retângulo abaixo.
Sabemos que seno é igual à razão entre cateto oposto e hipotenusa e cosseno é igual à razão entre cateto adjacente e hipotenusa.
O cateto y é oposto ao ângulo a.
Logo: sen(a) = y/x.
O cateto y é adjacente ao ângulo b.
Logo: cos(b) = y/x.
Portanto, é verdade que sen(a) = cos(b).
b) O cateto oposto ao ângulo b é z.
Logo: sen(b) = z/x.
O cateto adjacente ao ângulo a é z.
Logos: cos(a) = z/x.
Portanto, é verdade que sen(b) = cos(a).
c) Secante é igual ao inverso do cosseno.
Logo, sec(a) = 1/cos(a). Como cos(a) = z/x, então sec(a) = x/z.
Cossecante é igual ao inverso do seno.
Logo, csc(b) = 1/sen(b). Como sen(b) = z/x, então csc(b) = x/z.
Portanto, é verdade que csc(b) = sec(a).
d) A tangente é igual à razão entre seno e cosseno.
Logo, tg(a) = sen(a)/cos(a) = y/z.
A cotangente é igual à razão entre cosseno e seno.
Logo, ctg(b) = cos(b)/sen(b) = y/z.
Portanto, é verdade que tg(a) = ctg(b).
e) Como dito no item c), secante é inverso do cosseno. Portanto, é verdade que sec(a) = 1/cos(a).
f) Do item c) concluímos também que csc(b) = 1/sen(b).
g) Do item d) concluímos que a tangente é a razão entre seno e cosseno. Logo, tg(a) = sen(a)/cos(a).
h) Da mesma forma, do item d) concluímos que a cotangente é inverso da tangente, ou seja, ctg(a) = cos(a)/sen(a).
i) Observe que sen(a) = y/x e cos(a) = z/x.
Então:
sen²(a) + cos²(a) = (y/x)² + (z/x)²
sen²(a) + cos²(a) = (y² + z²)/x².
Do Teorema de Pitágoras sabemos que x² = y² + z². Portanto:
sen²(a) + cos²(a) = x²/x²
sen²(a) + cos²(a) = 1.
j) Como tg(a) = y/z, então:
1 + tg²(a) = 1 + (y/z)²
1 + tg²(a) = 1 + y²/z²
1 + tg²(a) = (z² + y²)/z².
Como visto acima, x² = y² + z². Logo:
1 + tg²(a) = x²/z²
1 + tg²(a) = (x/z)².
Veja que cos(a) = z/x. Então, 1/cos(a) = x/z. Portanto:
1 + tg²(a) = (1/cos(a))²
1 + tg²(a) = sec²(a).
k) Como vimos, cotangente é a razão entre cosseno e seno. Logo: ctg(a) = cos(a)/sen(a) = z/y.
Assim:
1 + cotg²(a) = 1 + (z/y)²
1 + cotg²(a) = 1 + z²/y²
1 + cotg²(a) = (y² + z²)/y².
Como x² = y² + z², então:
1 + cotg²(a) = x²/y²
1 + cotg²(a) = (x/y)²
1 + cotg²(a) = csc²(a).
Para mais informações sobre identidade trigonométrica: https://brainly.com.br/tarefa/18786472
