Question

Com auxilio de fotografias tiradas por satélite foram localizados três focos de incêndio em uma área descampada originada pelo calor excessivo. constituindo um sistema de coordenadas, um especialista estabeleceu as coordenadas, dos três focos: F1(0,15) f2 (-8,-1) e F3 (8,11). para conter o incêndio o corpo de bombeiros deseja instalar a base de operações em um ponto equidistante dos três focos.

a) em que ponto será instalada a base do corpo de bombeiros?

b)se cada unidade representada no piano cartesiano corresponde a 0,8km qual será a distância da base a cada um desses focos?​

Answer 1

a) A base do corpo de bombeiros será instalada no ponto B(0, 5).

b) A distância da base a cada um desses focos é de 80 km.

Precisamos achar as coordenadas dessa base de operações.

Como ela ficará em um ponto equidistante dos três focos, temos:

dPF₁ = dPF₂ = dPF₃

A fórmula da distância entre dois pontos é:

d(A,B) = √(xB - xA)² + (yB - yA)²

Para facilitar, farei:

xP = x

yP = y

dPF₁ = √(xF₁ - xP)² + (yF₁ - yP)²

dPF₁ = √(0 - x)² + (15 - y)²

dPF₁ = √(x² + 225 - 30y + y²)

dPF₂ = √(xF₂ - xP)² + (yF₂ - yP)²

dPF₂ = √(- 8 - x)² + (- 1 - y)²

dPF₂ = √64 + 16x + x² + 1 + 2y + y²

dPF₂ = √(x² + 16x + y² + 2y + 65)

dPF₃ = √(xF₃ - xP)² + (yF₃ - yP)²

dPF₃ = √(8 - x)² + (11 - y)²

dPF₃ = √64 - 16x + x² + 121 - 22y + y²

dPF₃ = √(x² - 16x + y² - 22y + 185)

Igualando, temos:

dPF₁ = dPF₂

√(x² + 225 - 30y + y²) = √(x² + 16x + y² + 2y + 65)

Elevando tudo ao quadrado, fica:

x² + 225 - 30y + y² = x² + 16x + y² + 2y + 65

225 - 30y = 16x + 2y + 65

- 16x - 30y - 2y = 65 - 225

- 16x - 32y = - 160

16x + 32y = 160

Simplificado...

x + 2y = 10

dPF₁ = dPF₃

√(x² + 225 - 30y + y²) = √(x² - 16x + y² - 22y + 185)

Elevando tudo ao quadrado, fica:

x² + 225 - 30y + y² = x² - 16x + y² - 22y + 185

225 - 30y = - 16x - 22y + 185

- 16x - 30y + 22y = 185 - 225

- 16x - 8y = - 40

16x + 8y = 40

Simplificando...

2x + y = 5

Fazendo um sistema de equações:

{x + 2y = 10

{2x + y = 5  ----> ·(-2)

{    x + 2y = 10

{- 4x - 2y = - 10  +

- 3x = 0

x = 0

O valor de y.

x + 2y = 10

0 + 2y = 10

2y = 10

y = 5

Portanto, as coordenadas do ponto da base são:

B (0, 5)

Agora, calculamos a distância da base a qualquer um desses focos.

dPF₁ = √(x² + 225 - 30y + y²)

dPF₁ = √(0² + 225 - 30.5 + 5²)

dPF₁ = √(0 + 225 - 150 + 25)

dPF₁ = √(100)

dPF₁ = 10

Como cada unidade corresponde a 0,8 km, temos:

10 · 0,8 = 80 km