Question

Com as letras da palavra VACINA, a soma do número de anagramas distintos que começam com V com o número de anagramas distintos que começam com V e terminam com A é igual a:
a) 24
b)60
c)84
d)120
e)720​

Answer 1

A soma do número de permutações diferentes em cada caso é equivalente a 84 (Item C).

Para encontrarmos o número de anagramas começados em V e terminados em A, usaremos o princípio fundamental da contagem:

Temos 6 letras que podem ser dispostas em 6 lugares:

$\square ~\square ~\square ~\square ~\square ~\square$

Na primeira e ultima posições podemos usar apenas uma letra, visto que a palavra tem de se iniciar com V e terminar com A. Teremos 1 possibilidade em cada posição e 4 letras restantes:

$1 ~\square ~\square ~\square ~\square ~1$

Na segunda posição, teremos 4 opções restantes:

$1 ~4 ~\square ~\square ~\square ~1$

Na terceira posição, teremos 3 opções:

$1 ~4 ~3 ~\square ~\square ~1$

Na quarta, 2 opções restantes:

$1 ~4 ~3 ~2 ~\square ~1$

E na quinta, apenas uma opção restante, isto é, a letra que não foi usada:

$1 ~4 ~3 ~2 ~1 ~1$

Segundo o Principio Fundamental da Contagem, o número de possibilidades será dado pelo produto (multiplicação) de todos esses valores:

$p_1 = 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1\\\\ \underline{p_1 = 24}$

Agora calculamos o número de permutações começadas com V. Perceba que o V não irá permutar, logo iremos calcular apenas as permutações da palavra "ACINA".

Usaremos a seguinte relação:

$p = \dfrac{n!}{n_r!}\\\\\\ p - \mathsf{possibilidades}\\ n - \mathsf{n\acute{u}mero ~de ~letras}\\ n_r - \mathsf{n\acute{u}mero ~de ~letras ~repetidas}$

Temos 5 letras no total, e 2 delas repetidas:

$p_2 = \dfrac{5!}{2!}\\\\ p_2 = \dfrac{5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!\!\!\!\!\!\diagup}{2!\!\!\!\!\!\diagup}\\\\ p_2 = 5 \cdot 4 \cdot 3\\\\ \underline{p_2 = 60}$

Agora nos resta somarmos as possibilidades:

$r = p_1 + p_2\\ r = 24 + 60\\\\ \boxed{\underline{r = 84}}$

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